31

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тульский государственный университет

Кафедра физики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к практическии занятиям

по дисциплине

ФИЗИКА

Часть 3.

Тула 2010

1. Использование теоремы Гаусса в дифференциальной форме.

Как известно из векторной алгебры, любой вектор можно описать с помощью его проекций в виде

, (1.1)

где – орты осей , а – проекции вектора на эти оси.

Над векторами можно производить математические действия, такие как векторное сложение, скалярное и векторное умножение. Кроме этого существуют дифференциальные операторы, действующие на векторы. Примером может служить оператор "набла":

. (1.2)

Операция скалярного умножения оператора "набла" на вектор называется дивергенцией вектора :

. (1.3)

В электростатике основным вектором является вектор напряженности электрического поля . Используя формулы (1.1) – (1.3) можно записать выражение для дивергенции вектора :

. (1.4)

Если в некоторой физической задаче известна зависимость вектора напряженности электрического поля от координат, то можно определить объемную плотность электрического заряда  (функцию распределения электрического заряда в пространстве):

(1.5)

Уравнение (1.5) – это теорема Гаусса в дифференциальном виде для вектора напряженности электрического поля . Здесь Ф/м – электрическая постоянная,  – диэлектрическая проницаемость среды.

Задача 1

Напряженность электростатического поля задается формулой

. Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке , если Н/Кл; м, м, м.

Решение:

Сравнивая выражение для из условия с формулой (1.1), можно определить проекции вектора :

; (1.6)

Найдем частные производные:

, (1.7)

. (1.8)

В выражения (1.7) и (1.8) были подставлены значения А = 3 Н/Кл, м, м, 1 м.

Рассчитав значения выражений (1.7) и (1.8), подставим их в формулу (1.5), откуда можно выразить объемную плотность электрического заряда в заданной точке Р:

= 1,5010^–6 Кл/м³.

Ответ: 1,50 мкКл/м³

1.1 Напряженность электростатического поля задается формулой

а) ; б) ;

в) . Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке .

Н/Кл; м, м, 1 м.

Ответы: а) Кл/м³; б) 0,18 нКл/м³; в) 0,11 нКл/м³

1.2 Напряженность электростатического поля задается формулой

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з)

Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке .

Н/Кл, Н/Кл, м, м, b = 1 м.

Ответы: а) Кл/м³; б) Кл/м³; в) Кл/м³;

г) Кл/м³; д) Кл/м³; е) Кл/м³;

ж) Кл/м³ з) Кл/м³;

1.3 Напряженность электростатического поля задается формулой

а) ; б) ;

в) ; г) .

Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке .

В/м, рад/м, В/м, рад/м, м, м.

Ответы: а) Кл/м³; б) Кл/м³;

в) Кл/м³; г) Кл/м³

1.4 Напряженность электростатического поля задается формулой .

Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке .

В/м, м^–1, В/м, м^–1, м, м.

Ответ: Кл/м³

1.5 Напряженность электростатического поля задается формулой

а) ;

б) .

Используя теорему Гаусса в дифференциальной форме, найдите объемную плотность заряда в точке .

В/м, рад/м, В/м, м^–1, м, м.

Ответы: а) Кл/м³; б) Кл/м³