У загальному випадку абсолютна похибка вимірювання

(1.7)

Систематичною називається така складова похибки вимірювання, яка залишається незмінною, або закономірно змінюється при повторних вимірюваннях тієї самої величини (наприклад, похибка через неправильне градуювання шкали аналогового вимірювального приладу; похибки, що виникають при вимірюванні опору за схемами, зображеними на рисунку 1.3).

Основною визначальною ознакою систематичних похибок є те, що їх можна передбачити і тому повністю компенсувати введенням відповідних поправок. Виявлення систематичних похибок здійснюється в результаті перевірки приладу шляхом повторної його атестації за зразковими мірами чи сигналами.

Випадковою називається складова похибки вимірювання, яка змінюється випадково при повторних вимірюваннях тієї самої величини. Випадкові похибки проявляються в тому, що при повторних вимірюваннях незмінної величини одержують результати, які трохи відрізняються один від одного (звичайно в останніх значущих цифрах). Випадкові похибки формуються під впливом великої кількості незалежно діючих факторів. Кожний з них незначно впливає на вимірювання порівняно з сумарним впливом усіх інших, але передбачити яким буде загальна дія усіх цих факторів у кожний момент часу неможливо. Якби при повторних вимірюваннях деякої величини було одержано однакові числові значення, це свідчило б не про відсутність випадкових похибок, а про недостатню чутливість вимірювального приладу. Результати, які повністю збігаються, також як і результати, що занадто відрізняються один від одного, свідчать про недосконалість вимірювання. Необхідна умова вимірювань – одержання (при старанному проведені експерименту) результатів, які дещо відрізняються один від одного.

Опис випадкових похибок може бути здійснений тільки на основі теорії імовірності і математичної статистики. Для цього необхідно, по-перше, довести, що випадкові похибки підпорядковуються нормальному закону розподілу Гаусса або іншим анормальним законам розподілу, і, по-друге, виключити з групи результатів паралельних спостережень (тобто вимірювань зі сталою вхідною величиною ) грубі похибки та промахи.

Грубими називаються випадкові похибки, які з’явилися в результаті збігу кількох особливо несприятливих факторів (різкі зміни температури, атмосферного тиску, електричних і магнітних полів, вібрацій та ін.). Якщо похибки від впливу цих факторів підсумувати, то в результаті можемо отримати грубу похибку, яку треба виключити з кінцевого результату.

Промахом називають помилку експериментатора в результаті неправильного відліку по шкалі, помилки під час записування значень та ін. Промахи необхідно виявляти і виключати з кінцевого результату.

Різновиди похибок за характером їх змінювання показано на рисунку 1.4, де зображено результати стрільби по мішені (відхилення кожного влучення від центра мішені можна розглядати як похибку при стрільбі): а) – випадкові похибки при відсутності систематичних; б) – сукупність випадкових похибок і незмінної систематичної (зміщений приціл).

Випадкова складова похибки характеризує відхилення окремого спостереження від певного центра їх групування; систематична – зміщення цього центра групування щодо істинного значення вимірюваної величини.

Рисунок 1.4 – Результати стрільби по мішені

У залежності від наявності або відсутності функціонального зв’язку між похибкою вимірювання і значенням вимірюваної величини розрізняють два види складових похибок засобів вимірювань: адитивну і мультиплікативну.

Адитивна (від лат. “одержана в результаті додавання”) похибка не залежить від значення вимірюваної фізичної величини.

Прикладом систематичної адитивної похибки є зміщення нуля характеристики аналогового вимірювального приладу (рисунок 1.5,а: 1 – номінальна характеристика приладу; 2 – фактична його характеристика; – істинне значення вимірюваної величини; – показ приладу; – систематична адитивна похибка).

Прикладом випадкової адитивної похибки може бути похибка від тертя в опорах вимірювального механізму аналогового приладу: якщо її граничне значення рівне , то, в зв’язку з неможливістю прогнозувати в кожному вимірюванні знак такої похибки, фактична характеристика такого приладу лежить в межах смуги постійної ширини 2 , як на рисунку 1.5, б.

0

Рисунок 1.5 – Приклади систематичних та випадкових адитивних похибок

Мультиплікативна (від лат. “одержана в результаті множення”) похибка пропорційна значенню вимірюваної фізичної величини.

Така похибка з’являється, наприклад, у вимірювальній схемі (рисунок 1.6,а). При зміні температури навколишнього середовища: повний струм рівний

; (1.8)

при зміні температури опір шунта залишається незмінним, а опір мідної обмотки приладу змінюється. Тому відношення залежить від температури навколишнього середовища, і вимірювання струму здійснюється з систематичною похибкою, значення якої пропорційне значенню вимірюваної фізичної величини . Смуга мультиплікативних похибок засобу вимірювання зображена на рисунку 1.6,б.

Метою метрологічної обробки результатів вимірювань є обчислення найвірогіднішого результату вимірювання і надійної межі його загальної похибки з певною імовірністю (у технічних вимірюваннях звичайно = 0.95 тобто 95 %).

R_A

R_Ш

0

Рисунок 1.6 – Вимірювальна схема та смуга мультиплікативних похибок засобу вимірювання

Тоді остаточна повна форма запису результату вимірювання буде мати вигляд:

(при = 0.95) . (1.9)

Такий запис означає: з імовірністю = 0.95 можна стверджувати, що шукане істинне значення вимірюваної величини міститься в інтервалі між та (рисунок 1.7: – нижня межа імовірного інтервалу; – його верхня межа). Проте істинне значення може опинитися й за межами даного інтервалу, хоча імовірність цього незначна (лише 0,05 , тобто 5%).

Рисунок 1.7 – Найвірогідніший результат вимірювання А та надійна межа його загальної похибки

Як правило, остаточне значення виражають числом з однією значущою цифрою. Числове значення повинно закінчуватися десятковим знаком того ж розряду, яким закінчується . Наприклад: =2.00 0.05; =529 8; =3.73 0.04; =16 ∙ 10² 3 ∙ 10².

Вхідними даними при обробці результатів багаторазових прямих вимірювань певної фізичної величини є сукупність результатів окремих спостережень: , , … , .

Метрологічна обробка результатів цих спостережень здійснюється у такій послідовності:

1) усуваються (або по можливості зменшуються) систематичні похибки;

2) обчислюється надійна межа неусунених залишків систематичної похибки;

3) обчислюється найбільш вірогідне значення шуканої величини;

4) обчислюється надійна межа випадкової похибки результату;

5) знаходиться надійна межа загальної похибки результату;

6) записується результат багаторазового прямого вимірювання.

Виключення систематичних похибок здійснюється на основі поглибленого аналізу умов проведення експерименту (вводяться поправки на неточність градуїровки вимірювального приладу, якщо вони відомі, й поправки, що компенсують методичну пох7ибку тощо).

Надійна межа неусунених залишків систематичної похибки у найпростішому випадку встановлюється граничним значенням допустимої основної абсолютної похибки вимірювального приладу і може бути обчислена за формулою (1.6):

. (1.10)

Найвірогіднішим значенням вимірюваної величини можна вважати середнє арифметичне з результатів спостережень

. (1.11)

Надійна межа випадкової похибки результату прямого вимірювання обчислюється за формулою:

, (1.12)

де – коефіцієнт надійності при заданій імовірності;

– середнє квадратичне відхилення найбільш вірогідного значення результату вимірювання від істинного значення; обчислюється за формулою:

, (1.13)

де – випадкове відхилення -го результату спостереження від знайденого значення .

Для зручності обчислення на ПК формулу (1.13) доцільно перетворити:

. (1.14)

При обчисленні надійної межі загальної похибки результату прямого вимірювання треба враховувати як , так і (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Середнє арифметичне і надійна межа систематичної та випадкової похибок

Для цього спочатку обчислюється допоміжний параметр , причому:

• якщо < 0,8 , то величиною нехтують і приймають А =  ; (1.15)

• якщо 0,8   8, то А = , (1.16)

де

; ; (1.17)

• якщо > 8, то нехтують величиною  і приймають А = . (1.18)