Эффект Холла

Цель работы

Ознакомление с эффектом Холла и его использованием для определения концентрации и подвижности свободных носителей заряда.

Теоретические основы

Электроны в твердом теле при отсутствии внешнего электрического поля движутся хаотично с некоторой скоростью, называемой полной скоростью, таким образом, что их среднее смещение за достаточно большой промежуток времени в целом примерно равно нулю. При приложении внешнего электрического поля электроны, продолжая двигаться хаотично, смещаются в направлении действия сил электрического поля. При этом они за заданный промежуток времени смещаются внутри твердого тела на некоторое расстояние. Такое направленное движение электронов называют дрейфом, а скорость такого движения – дрейфовой скоростью. Дрейф электронов создает в твердом теле электрический ток. Величина дрейфовой скорости v при единичной напряженности внешнего электрического поля E характеризует подвижность μ электронов, т. е.:

. (1)

В случае, если на образец твердого тела, через который пропускается электрический ток, т. е. приложено внешнее электрическое поле (в направлении оси х), воздействовать магнитным полем с индукцией В в направлении оси z, перпендикулярном вектору напряженности электрического поля, то на движущиеся электроны будет воздействовать сила Лоренца (направленная по правилу левой руки вдоль оси y), которая равна:

F_Л = e[vB]·sin(α), (2)

где e - заряд электрона, α – угол между векторами электрического поля и магнитного поля (в данном случае α = 90˚, и sin(α) = 1).

Вследствие действия силы Лоренца магнитное поле отклоняет электроны вдоль направления оси y, перпендикулярного направлению электрического поля (ось x) и направлению магнитного поля (ось z). Направление движения электронов перестает совпадать с направлением внешнего электрического поля (рис. 1).

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая возникновение эффекта Холла.

В результате на одной из граней образца будут накапливаться отрицательные электроны, а на другой будут оставаться нескомпенсированные положительные заряды. Между этими гранями возникает разность потенциалов U_H, которая называется холловской разностью потенциалов (эдс Холла). Это явление называется эффектом Холла и было открыто в 1879 г. Холлом, который связал напряженность поперечного электрического поля Ey с плотностью тока j и индукцией магнитного поля В следующей эмпирической зависимостью: Е = R_H[jB], в которую входит коэффициент R_H, рассмотренный ниже.

Образуемое поперечное электрическое поле Ey увеличивается до тех пор, пока сила, действующая на заряды со стороны этого поля, не уравновесит силу Лоренца. Тогда последующие электроны не будут отклоняться, и установится стационарное состояние, при котором электроны будут двигаться вдоль образца так же, как и в отсутствие магнитного поля. Результирующее электрическое поле Е направлено при этом под углом Θ к направлению плотности тока j_x.

В указанном стационарном состоянии результирующая сила, действующая на электрон в направлении оси y, равна нулю, т. е.:

eE_y = - v_xB_z, (3)

где v_x – дрейфовая скорость электрона в направлении оси х, т.е. в направлении внешнего электрического поля (направления тока), которая в соответствии с формулой (1) равна μE_х.

Тогда холловское электрическое поле E_y определяется следующей формулой:

E_y = - μE_хB_z. (4)

Напряженность электрического поля Ех может быть выражена через плотность тока j_x и электропроводность твердого тела σ посредством формулы:

E_x= j_x / σ, (5)

в которой в соответствии с формулой Друде электропроводность равна:

σ = enμ, (6)

где n – концентрация электронов.

Тогда

E_y = -(1/en)j_xB_z. (7)

Таким образом, величина напряженности поперечного электрического поля E_y связана с плотностью тока j_x, пропускаемого через образец, и индукцией внешнего магнитного поля B_z коэффициентом (1/en), который называют коэффициентом Холла и обозначают как R_H. Для вычисления коэффициента Холла R_H формулу (7) преобразуют следующим образом:

, (8)

где b и d – ширина и толщина образца твердого тела в соответствии с рис. 2.

Тогда

(9)

и

(10)

В случае, если носителями заряда являются дырки – квазичастицы с положительным зарядом, а не электроны, то все приведенные выше сведения справедливы и для них. Однако в случае дырочной проводимости вектор дрейфовой скорости будет направлен в противоположную сторону. Это в сочетании с противоположным знаком заряда дырок приведет к тому, что сила Лоренца будет действовать на них в том же направлении, что и на электроны. Дырки будут отклоняться в ту же самую сторону, однако электрические заряды на гранях образца будут иметь противоположный знак по сравнению с образцом с электронной проводимостью.

По знаку эдс Холла можно определить тип проводимости твердого тела, т.е., обусловлена ли она дырками или электронами.

Коэффициент Холла R_H, как это видно из уравнения (7) обратно пропорционален концентрации носителей заряда и может быть использован для ее определения. Более строгое рассмотрение эффекта Холла показывает, что коэффициент Холла связан с концентрацией носителей заряда следующей зависимостью: R_H = ±А/en, где А – так называемый холл-фактор, который зависит от механизма рассеяния носителей, т. е. факторов, влияющих на их перемещение, например от концентрации нейтральных и заряженных примесных атомов, тепловых колебаний решетки, и от величины магнитного поля. При низких температурах, при которых велико рассеяние на ионах примеси А = 1,93, при более высоких температурах, при которых существенно влияние тепловых колебаний, А = 3π/8 = 1,18, в металлах и сильнолегированных полупроводниках А = 1. В сильном магнитном поле (μ²B_z² >> 1) холл-фактор A =1 и не зависит от механизма рассеяния.

При использовании коэффициента Холла (или, соответственно, концентрации свободных носителей заряда) и удельной электропроводности может быть рассчитана подвижность носителей заряда (например, из формулы (6)). Эта величина может различаться в образцах с одной и той же концентрацией свободных носителей заряда, например вследствие одновременного легирования материала донорной и акцепторной примесями. Подвижность носителей заряда характеризует, в частности, механизм рассеяния носителей заряда и может в значительной степени влиять на электрофизические свойства твердого тела.

Измерение эффекта Холла используется в качестве мощного инструментального средства для исследования фундаментальных свойств полупроводников, металлов и некоторых изоляторов.

Факторы, влияющие на величину измеряемой эдс Холла

На величину измеряемой эдс Холла R_H и, следовательно, величину рассчитываемой из нее концентрации носителей заряда n влияют следующие основные факторы.

1. Нахождение контактов для измерения эдс Холла (контактов 3 и 5) не в одной плоскости, перпендикулярной направлению тока, т. е., не на одной эквипотенциальной поверхности. В этом случае между контактами 3, 5 даже без приложения магнитного поля имеется разность потенциалов, соответствующая расстоянию между двумя плоскостями, в которых находятся эти контакты. Эта разность потенциалов будет складываться с эдс Холла или вычитаться из нее, в зависимости от направления тока и магнитного поля.

2. Ориентация образца таким образом, что направление тока не перпендикулярно направлению магнитного поля. В этом случае в соответствии с формулой (2) необходимо учитывать величину sin(α) в формуле (2), что затруднено экспериментально.

3. Геометрические размеры образца, например малая его длина по сравнению с шириной и толщиной.

4. Различные термоэлектрические эффекты, связанные с появлением температурного градиента и паразитных эдс, совпадающих с направлением тока или эдс Холла.

5. Нестабильность и неоднородность магнитного поля.

Влияние факторов 1), 2) и частично факторов 3) – 5) может быть устранено измерением четырех значений эдс Холла при разном направлении тока, пропускаемого через образец, и разном направлении магнитного поля. Другие факторы могут быть частично устранены, например, использованием малого значения тока, при котором образец практически не нагревается, стабилизацией магнитного поля и т. п. Суммарная ошибка при измерении эффекта Холла может составлять 10-15 %, однако при проведении серии измерений, например при периодическом измерении концентрации носителей заряда в одном и том же образце в процессе его термообработки, ошибка измерений может быть существенно меньше.

Рис. 2. Схема измеряемого образца твердого тела (d = 1 мм; l = 5 мм; b = 4 мм).

Измерительная установка

Измерительная установка включает в себя в качестве основных блоков электромагнит с держателем образца, коммутационно-измерительный блок (рис. 3) и автотрансформатор с органами включения и регулирования магнитного поля (рис. 4). Между полюсами электромагнита установлен измеряемый образец твердого тела (рис. 2).

Рис. 3. Внешний вид передней панели коммутационно-измерительного блока

Рис. 4. Передняя панель автотрансформатора с органами включения и регулирования магнитного поля.

Коммутационно-измерительный блок, внешний вид передней панели которого показан на рис. 3 (не имеют надписей органы управления для измерения температурной зависимости эффекта Холла, не используемые в данной работе), обеспечивает пропускание через образец тока заданной величины и соединение с цифровым вольтметром контактов для измерения падения напряжения на образцовом сопротивлении (10 Ом) при измерении тока через образец, контактов 3-4 при измерении напряжения, используемого для расчета электропроводности образца, и контактов 3-5 при измерении напряжения, используемого для расчета коэффициента Холла.

Порядок выполнения работы

1. Включите питание электромагнита, вставив трехфазный разъем в розетку и отжав затем рычажный выключатель на стене вверх. Включите электронный вольтметр, вставив двухфазную вилку в розетку и нажав кнопку (I) на передней панели вольтметра. Дайте вольтметру прогреться 15-20 минут. Включите тумблер «Сеть» на передней панели коммутационно-измерительного блока (рис. 3).

2. Проведите измерение тока через образец. Для этого установите переключатель «Напряжение-Ток» в положение «Ток». Установите ток через образец (который уже размещен между полюсами электромагнита) вращением ручки «Регулировка тока». Приблизительное значение тока вы можете видеть на стрелочном приборе «Ток через образец». Точное значение тока определите по показаниям электронного вольтметра с учетом того, что он при этом измеряет напряжение на эталонном сопротивлении 10 Ом, подключенном последовательно с образцом. Переключите переключатель «Направление тока», считайте величину напряжения и возьмите для расчетов среднее значение.

3. Выполните измерение напряжения для расчета удельной электропроводности материала образца. Для этого, не изменяя положения ручки «Регулировка тока», установите переключатель «Напряжение-Ток» в положение «Напряжение». Переключатель «Измерение напряжения» установите в положение «Удельное сопротивление». Считайте величину напряжения с вольтметра. Затем измените направление тока переключателем «Направление тока», снова считайте величину напряжения и возьмите для расчетов среднее значение.

4. Выполните измерение напряжения для расчета эдс Холла. Для этого, не изменяя положения ручки «Регулировка тока», установите переключатель «Напряжение-Ток» в положение «Напряжение». Переключатель «Измерение напряжения» установите в положение «Холл». Переключатель «Направление тока» установите в положение «+».

5. Убедитесь в том, что правая ручка на автотрансформаторе питания в нижней части стенда (рис. 4) вывернута по часовой стрелке в крайнее положение. Нажмите среднюю черную кнопку на трехкнопочном переключателе над ручками трансформатора. При этом загорится лампочка «Индикатор направления магнитного поля «+»». Посмотрите на стрелочный прибор «Магнитная индукция». Стрелка должна находиться вблизи нуля. Затем плавным вращением правой ручки трансформатора против часовой стрелки (что увеличивает ток, протекающий через электромагнит) добейтесь, чтобы стрелка показывала необходимое значение магнитной индукции. (Быстрое чрезмерное увеличение тока или же включение электромагнита при правой ручке автотрансформатора, не вывернутой до нуля, может привести к сгоранию обмотки электромагнита).

6. После установки требуемого значения величины магнитного поля считайте с вольтметра значение эдс Холла (обязательно записывайте знак эдс Холла!).

7. Не изменяя величину магнитного поля установите переключатель «Направление тока» в положение «-». Снова считайте величину эдс Холла с вольтметра.

8. Вращением правой ручки трансформатора по часовой стрелки уменьшите величину магнитного поля до нуля. (Посмотрите на стрелочный прибор «Магнитная индукция». Стрелка должна находиться вблизи нуля.) Нажмите левую красную кнопку на трехкнопочном переключателе над ручками трансформатора. При этом отключится питание электромагнита.

9. Нажмите правую черную кнопку на трехкнопочном переключателе над ручками трансформатора. При этом загорится лампочка «Индикатор направления магнитного поля «-»». Посмотрите на стрелочный прибор «Магнитная индукция». Стрелка должна находиться вблизи нуля. Затем плавным вращением правой ручки трансформатора против часовой стрелки добейтесь, чтобы стрелка показывала необходимое значение магнитной индукции (то же самое, что при первоначальном направлении магнитного поля!).

10. Проведите измерения эдс Холла при установленном направлении магнитного поля («-») для двух направлений тока через образец (так же, как в п.п. 6-7).

11. Вращением правой ручки трансформатора по часовой стрелки уменьшите величину магнитного поля до нуля. (Посмотрите на стрелочный прибор «Магнитная индукция». Стрелка должна находиться вблизи нуля.) Нажмите левую красную кнопку на трехкнопочном переключателе над ручками трансформатора. При этом отключится питание электромагнита.

12. Вы получили четыре значения эдс Холла при разных направлениях тока через образец и разных направлениях магнитного поля. Для последующих расчетов используйте среднее значение эдс Холла. Для расчета среднего значения в общем случае необходимо учитывать знак полученных четырех значений эдс (т.е. использовать среднее алгебраическое значение). Для этого используйте формулу, приведенную ниже. Или же рассуждайте логически и приведите знак полученных вами значений к одним и тем же направлениям тока и магнитного поля. Так, при измерении второго значения эдс вы изменили направление тока, а направление магнитного поля осталось прежним. Следовательно, для сопоставления этих двух значений вы должны привести их к одинаковым условиям и изменить знак второго значения эдс на противоположный, чтобы учесть изменение направление тока. Если же вы изменили и направление тока и направление магнитного поля, то вы должны изменить знак эдс дважды, и, следовательно, он останется прежним. После приведения знака значений рассчитайте их алгебраическую сумму и среднее значение эдс Холла.

13. Рассчитайте величину удельной электропроводности, используя размеры образца, приведенные на рис. 2.

14. Рассчитайте концентрацию свободных носителей заряда в измеряемом образце, используя размеры образца, приведенные на рис. 2.

15. Рассчитайте подвижность свободных носителей заряда в измеряемом образце, используя формулу (6).

Указанные измерения проведите при двух значениях тока через образец (например, при примерно 1 мА и 5мА, если преподавателем не указаны иные значения. Разумеется, в расчетах должны быть использованы точные значения тока, установленные студентом, например, 1,05 мА и 4,72 мА). Для каждого значения тока проведите измерения эдс Холла при нескольких значениях магнитной индукции, например, при 3000 Гс, 6000 Гс и 9000 Гс. Результаты измерений (и расчетов) могут быть, например, сведены в такую таблицу (величины тока I указаны для примера и могут быть, например, 1,53 мА и 4,12 мА; использование двух величин тока в данной работе требуется, чтобы студент мог сравнить величины концентрации n, полученные при разных токах через образец):

I, мА	Uσ, мВ	B, Гс	U3-5 (+ +), мВ	U3-5 (+ -), мВ	U3-5 (- +), мВ	U3-5 (- -), мВ	RH, см3/Кл	n, см-3	μ, см2/В.с
1		3000
		6000
		9000
5		3000
		6000
		9000

Обработка результатов измерений

Вначале при использовании величины напряжения, измеренного, как указано выше в п. 3, на контактах 3 и 4 образца, рассчитайте величину удельной электропроводности. При этом следует учесть, что напряжение на контактах 3 и 4 соответствует падению напряжения U на длине (l) проводника между воображаемыми поперечными плоскостями, на которых расположены контакты 3, 4. Сопротивление R этого участка образца длиной l равно R = U/I, где I – ток через образец. При учете поперечного сечения образца и длины участка измерения получаем, что удельное электросопротивление ρ материала образца равно:

. (11)

Отсюда можно определить электропроводность σ образца.

Затем из измеренных в соответствии с п. п. 4-11 четырех значений эдс Холла рассчитайте среднее значение эдс U_H в соответствии с п. 12 или же по следующей формуле:

, (12)

где числитель представляет собой алгебраическую сумму значений напряжения (со своим знаком!) на контактах 3 и 5, измеренных при разных направлениях тока через образец и магнитного поля.

Может показаться, что такое вычисление среднего из алгебраической суммы излишне, и достаточно вычисления среднего арифметического значения, поскольку «все равно все четыре значения суммируются одни с другими». Это обусловлено лишь тем образцом, который использован в данной работе. Однако в общем случае, например при измерении эффекта Холла в компенсированных неоднородных образцах полупроводникового материала, алгебраическая сумма может отнюдь не совпадать с арифметической суммой, и знак частных значений эдс Холла U_3-5 учитывать необходимо.

На основании рассчитанного среднего значения эдс Холла U_H рассчитайте коэффициент Холла R_H. При проведении расчетов в системе СИ можно воспользоваться формулой (10), получая величину R_H в м³/Кл. При выражении U_H в вольтах, I в амперах, d в см и B в гауссах можно воспользоваться следующей формулой:

, (13)

получая значение коэффициента Холла R_H в см³/Кл.

Затем, исходя из формулы R_H = 1/en, рассчитайте концентрацию свободных носителей заряда в измеряемом образце (которая будет выражаться в м^-3 или см^-3, в зависимости от использования формулы (10) или (13)), после чего рассчитайте подвижность свободных носителей заряда, используя формулу (6).

Контрольные вопросы

1. Что такое эффект Холла?

2. Как влияет тип носителей заряда на эдс Холла?

3. Где величина эдс Холла больше – в металлах или полупроводниках?

4. Что такое подвижность носителей заряда и от каких факторов она зависит?.

5. Какие факторы влияют на ошибку измерения эффекта Холла и каким образом они могут быть устранены?

6. Как влияют на эдс Холла величина тока через образец и величина магнитной индукции?

Литература

1. Е.В.Кучис. Методы исследования эффекта Холла. - М., Сов. Радио, 1974. – 328 с.

2. Я.П.Павлов. Методы определения основных параметров полупроводниковых материалов. – М., Высш. школа, 1975. – 204 с.

Приложение 1