Основная задача механики

Основной задачей механике является определение уравнения движения, то есть уравнения, позволяющего определить положение тела в любой момент времени, кроме этого определяются причины, вызывающие определенное движение.

В разделе механики – кинематика ставится задача определения уравнения движения тел без выяснения причин, вызывающих данное движение.

Для описания движения материальной точки можно использовать два способа,

Векторный способ предлагает задавать положение радиусом-вектором , проведенным из начала координат в данную точку А (рис. 1.2) .

Рис. 1.2

Координатный способ позволяет определять положение точки с помощью координат, которые при ее движении изменяются со временем, например, в декартовой системе координат положение точки задается тремя координатами

Кинематические характеристики поступательного движения твердого тела и материальной точки: перемещение, путь, скорость, ускорение (полное ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения). Относительность движения.

Для описания движения тела необходимо ввести физические величины.

1.1 Перемещение – вектор, соединяющий начальную А и конечную В точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени Δt (рис.1.3).

Рис.1.3

1.2 Путь или длина пути l – длина траектории.

При прямолинейном движении (траектория – прямая линия) модуль перемещения равен длине пути l, если движение происходит в одном направлении.

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.

Средняя скорость перемещения – векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

= /t. (1.1)

Пусть точка движется по траектории от A до B. На рис.1.3 показаны перемещение и вектор средней скорости .

Гораздо чаще для характеристики движения мы пользуемся понятием средней скорости прохождения пути, равной отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден.

v_{ср l} = l/t. (1.2)

На рис.1.4 l – это длина кривой AB. Ясно, что, поскольку   ≤ l, то   ≤ v_{ср l}.

Мгновенная скорость – скорость тела в данный момент времени.

Мгновенной скоростью называется предел отношения перемещения  к промежутку времени Δt, за который это перемещение произошло, при стремлении Δt к нулю, то есть первая производная радиуса-вектора по времени:

. (1.3)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: направлено вдоль секущей АВ (рис.1.3). Если Δt стремится к нулю, то в пределе точки А и В сольются в одну точку, при этом секущая превращается в касательную.

Рис.1.4

Рассмотрим движение точки относительно прямоугольной системы координат (рис. 1.5). Положение точки характеризуется положением радиуса –вектора . Из рисунка видно, что перемещение точки равно изменению радиуса-вектора: , .

Рис. 1.5

Тогда мгновенную скорость точки можно определить как первую производную радиуса-вектора по времени:

. (1.4)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории в данной точке

Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает со средней скоростью перемещения:

= = = .

Пусть x₀ – координата точки в момент времени t = 0, а x – координата в момент времени t. Тогда = x - x₀.

_{Рис. 1.6}

_{Из определения скорости мы можем определить уравнение движения:}

_{Постоянный вектор определяем из начальных условий. Пусть в момент времени t = 0}

_{Т огда уравнение движения в векторной форме имеет вид: (1.5).}

_{В проекции на ось OX}

x = x₀ + v_xt, (1.6)

Скорость v_x = ±v, где v = .

Тогда получаем закон движения в том виде, в котором чаще всего он используется при решении задач:

x = x₀ ± vt. (1.7)