1.5. Кінетичне рівняння для вільних електронів
Знайдемо закон зміни середнього імпульсу
електронів у металі під дією зовнішніх
сил. Нехай
(t)
- середній імпульс електронів в момент
часу t, нехай f - сила, що діє на
кожен електрон. Знайдемо тоді
(t+
dt) , середній імпульс через час dt.
З імовірністю
електрон на протязі часу
буде рухатись без зіткнень, і тому його
імпульс, згідно другому закону Ньютона,
збільшиться на
dt.
З імовірністю
електрон
зазнає зіткнення десь на інтервалі dt,
після цього "втратить пам'ять"
(тобто його середній векторний імпульс
стане рівний нулю), і буде набувати
додаткового імпульсу
dt
протягом інтервалу dt' між моментом
зіткнення і кінцем інтервалу dt(dt’<dt).
Середнє значення імпульсу електрона в
момент t+ dt можна знайти як
математичне очікування цих двох ситуацій:
(t+
dt)=(
)(
(t)+
dt+
(0+
)
Відкинемо величини другого порядку малості:
(t+dt)=
(t)+
dt+
,
звідси
,отже
—це
рівняння для руху тіла у в'язкому
середовищі. Величина
-
грає роль в'язкого опору.
Приклад
1
.
Легко
переконатись
(методом розділення змінних), що розв’язок
рівняння
має вигляд:
якщо початковий середній імпульс
.
Фізичний зміст цього розв'язку очевидний.
Поки середній імпульс електронів малий,
"в'язкий опір" теж малий, так що
електрони прискорюються майже рівномірно
.
Коли середня швидкість електронів
зростає до певної величини, сила в'язкого
опору компенсує зовнішню силу і електрони
рухаються в середньому з постійною
швидкістю (стаціонарний режим).
Аналогія: людина, що падає з великої
висоти, не розкриваючи парашута, досягає
максимальної швидкості біля 60 м/с, яка
далі не збільшується, тому що при цій
швидкості сила опору повітря рівна силі
тяжіння. Приклад 2.
,
тобто зовнішня сила гармонічна.
1 спосіб: фізично очевидно, що
гармонічна сила повинна викликати
гармонічні коливання, але зі зсувом по
фазі (відставанням), викликаним дією
"в'язкого опору". Тому шукаємо
розв'язок у вигляді
.
Підстановка цієї залежності у кінетичне
рівняння дає:
.
Використаємо факт лінійної незалежності функцій cos і sin: якщо
,
для будь-якого t, то звідси випливає,
що А=0, В=0.
для будь-якого t.
Звідси випливає, що
Легко бачити, що тоді (
- зсув по фазі,
- амплітуда коливань.
2 спосіб: отримаємо той самий результат
через комплексні величини. Нехай
де
-
комплексна амплітуда.
,
звідси
.
Врахуємо, що
=
.
Тоді
Отже,
Цей результат дає можливість ввести
поняття комплексної провідності, яка
використовується для характеристики
поведінки електронного газу під дією
гармонічної електричної сили:
Присутність уявної частини означає
зсув по фазі між струмом і напруженістю
поля. Комплексна провідність буде
використана зараз для опису розповсюдження
електромагнітних хвиль у металі.
1.6. Електромагнітна хвиля в металі
Відомо, що лужні метали є прозорими для електромагнітних хвиль ї частотою, більшою певної критичної. Спробуємо пояснити Цей факт на основі класичної електронної теорії. Для цього розв'яжемо рівняння Максвела
для електромагнітної хвилі в газі вільних електронів.