5.4. Напів класична динаміка електронів у кристалі

Розглянемо поведінку електронів в кристалі під дією зовнішньої сили (наприклад, напруженості зовнішнього електричного поля).

Окрім зовнішньої сили, на електрон, як нам відомо, діє квазів'язка сила опору, обумовлена стохастичним розсіюванням електронів на дефектах решітки (в першу чергу на теплових коливаннях атомів). Але, крім цих сил, навіть у бездефектному кристалі на електрон діє ще одна сила квантового, дифракційного походження: електрон завдяки власним хвильовим властивостям дифрагує на решітці (відбивається від бреггівських площин) і тому змінює свій імпульс, що можна описати як дію додаткової внутрішньої сили. Описувати цю силу в явному вигляді досить складно. Значно зручніше будувати теорію за принципом "чорного ящика": на вході - зовнішня сила , на виході - середні швидкість та прискорення.

Розглянемо електрони у кристалі при як пакет хвиль де-Бройля. З курсу оптики та квантової механіки відомо, що швидкість пакету

Тепер на цей пакет діє зовнішня сила , яка виконує роботу над електроном

З іншого боку, вона мала б привести до зміни енергії електрона

За законом збереження енергії прирівняємо (*) та (**)

- рівняння напівкласичної динаміки. (***)

Рівняння напівкласичної динаміки аналогічне II закону Ньютона. Замість імпульсу вводиться квазіімпульс, замість сили - зовнішня сила.

Знайдемо прискорення електрона в кристалі

Доцільно назвати коефіцієнт пропорційності між зовнішньою силою та прискоренням оберненою ефективною масою, яка може бути як додатньою, так і від ємною. Тоді

Якщо будувати теорію для анізотропного кристалу, то обернена ефективна маса вводиться як тензор другого рангу .

Для прикладу розглянемо одновимірний рух електрона під дією постійної зовнішньої сили, якщо початковий квазіімпульс рівний нулю, а закон дисперсії має вигляд, зображений на рис.5.4.1.

Розглянемо динаміку електрона, який є єдиним на всю енергетичну зону. У цьому випадку можна не брати до уваги принцип Паулі. Згідно з рівнянням (***) під дією поступальної сили хвильовий вектор буде монотонне змінюватися за лінійним законом

При цьому швидкість електрона спочатку буде рости до максимальної, а потім зменшуватися. Можна сказати, що електрон відчуває границю першої зони Бріллюена, і, досягнувши нульової швидкості на границі зони Бріллюена, відбивається від неї за законом Лауе. При цьому його хвильовий вектор стрибком змінюється на протилежно направлений

а швидкість змінюється неперервно, наростаючи у зворотньому напрямі (рис.5.4.2).

Таким чином, в описаній ідеалізованій моделі постійна зовнішня сила повинна викликати періодичний рух електрона. Насправді у нормальному металі спостерігати це неможливо через наявність опору та заповненості зон. Щось подібне натомість спостерігається у надпровідниках при нестаціонарному ефекті Джозеф-сона (постійна напруга U на контакті S-S через вузький прошарок діелектрика викликає періодичний струм на цьому контакті з частотою

Поблизу бреггівських, площин прискорення направлене проти зовнішніх сил, тобто коефіцієнт пропорційності між прискоренням і зовнішньою силою (ефективна маса) від'ємний. Від'ємний знак ефективної маси означає, що внутрішні сили, які пов'язані з дифракцією електрона на кристалічній решітці, направлені проти зовнішніх сил і перевищують їх.

Можна зробити висновок, що біля верхнього краю енергетичної зони електрони мають від'ємну ефективну масу (рис.5.4.3). Це дає можливість ввести поняття дірки.

Використаємо теорему, за якою сумарний струм всіх електронів у заповненій енергетичній зоні дорівнює нулю:

де N - кількість електронів. Припустимо, що один з електронів даної енергетичної зони відсутній. Тоді сумарний струм, тобто можна уявити струм, створений зоною з одним незаповненим підрівнем, як рух квазічастинки з додатнім зарядом (+е). Таку квазічастинку називають діркою. Ефективна маса дірки рівна ефективній масі електрона (на відповідній орбіталі) з протилежним знаком. Тому ефективна маса дірки біля верхнього краю зони додатня.

Нехай зовнішня сила, що діє на електрон у кристалі - сила Лоренца. Тоді рівняння напівкласичної динаміки (***) матиме вигляд

Видно, що зміна квазіімпульсу перпендикулярна до силових ліній магнітного поля, тобто лежить у площині перпендикулярній до силових ліній. Зміна квазіімпульсу перпендикулярна до градієнта енергії в k - просторі. Це означає, що зміна квазіімпульсу направлена по дотичній до кривої, яка лежить на перерізі поверхні постійної енергії та площини, перпендикулярної до силових ліній індукції.

Ця властивість використовується для експериментального визначення поверхні Фермі.