5.2. Уявлення про модель слабкого зв'язку

Вважаючи взаємодію електронів з решіткою малим параметром, стан електронів у нульовому наближенні можна описати плоскими хвилями.

з енергією

Спектр є квазінеперервним, тобто дискретним, але з дуже щільно, розташованими рівнями розмір зразка, задача про сферу Фермі в ІІ.2). Взаємодія електронів з решіткою призводить до дифракції, яка в свою чергу зводиться до відбивання від бреггівських площин.

Як показано в ІІ.4, максимуми дифракції відповідають умові Лауе

- хвильові вектори падаючої та розсіяної хвилі, К - вектор оберненої решітки.

Обмежимося тут одновимірним випадком, коли хвиля розповсюджується перпендикулярно до бреггівської площини (і паралельного до неї сімейства атомних площин). Тоді розсіяна

хвиля буде направлена протилежно падаючій , а вектори оберненої решітки будуть кратні (d - міжплощинна відстань).

Умова дифракції набуде вигляду

Падаюча хвиля описується хвильовою функцією

відбита - .

Інтерференція падаючої та відбитої хвилі в залежності від умов відбивання призводить до хвильових функцій

Отже,

Тому функція (густина імовірності) велика поблизу точок і описує стан, коли електрони сконцентровані поблизу іонів, функція мала поблизу точок і описує стан, коди електрони сконцентровані подалі від іонів (рис.5.2.1).

Якщо позначити середню відстань електронів до іонів у першому випадку , у другому - , а при рівномірному розподілі то

Отже, оскільки потенціальна енергія взаємодії електронів з іонами від'ємна,

де Ze - заряд іона, то енергія електронного газу у першому випадку менша, ніж для рівномірного розподілу, а у другому випадку більша, ніж для рівномірного розподілу (рис.5.2.2). Це означає, що поблизу бреггівської площини (поблизу границі зони Бріллюена) енергетичний спектр розщеплюється і виникає тонка смуга заборонених енергій. Аналогічні розриви спектру будуть відбуватися на кожній бреггівській площині (рис.5.2.3).

Таким чином, дифракція електронів на власній кристалічній решітці призводить до появи системи заборонених зон у суцільному енергетичному спектрі електронів, тобто деяким значенням енергії не відповідають ніякі електронні стани. Ширина таких зон тим більша, чим більша енергія взаємодії електронів з решіткою.

Важливо зазначити, що місця розриву квазінеперервного спектру різні для різних кристалографічних напрямів, оскільки по різних напрямках періоди (між площинні відстані) різні. Це означає, що, наприклад, верхній край другої дозволеної зони в одному напрямі може виявитися вище, ніж нижній край третьої дозволеної зони в іншому напрямі. В результаті по енергетичній шкалі відбувається перекриття дозволених зон (рис.5.2.4), що суттєво впливає на елект­ричні та інші властивості металів. Зокрема, перекриття зон має місце у лужноземельних металів.

5.3. Уявлення про модель сильного зв'язку

Ізольований атом має цілком певну кількість електронів. Уявимо, що атоми в системі знаходяться на великій відстані один від одного. При зближенні атомів імовірність переходу електрона від атома до атома зростає, і картина дискретних енергетичних рівнів для ізольованих атомів стає більш розмитою.

Для визначеності будемо розглядати "кристал", що складається з атомів натрію з міжатомними відстанями й d у кілька десятків ангстрем . Електрони в атомі Nа перебувають на чотирьох енергетичних рівнях та (рис.5.3.1.а).

Простір між атомами - це потенціальний бар'єр для електрона. Висота і ширина цього бар'єру змінюється при наближенні атомів (рис.5.3.1 .b). При цьому імовірність тунельного переходу електрона від атома до атома визначається як

- інтервал під бар'єром

Із зменшенням відстані між атомами час життя електрона у відповідному атомі буде зменшуватися, оскільки частота переходів від атома до атома

діаметр електронної підоболонки,

- кількість спроб "прорватися" крізь бар'єр,

D - імовірність того, що спроба вдала,

- характерна швидкість електрона в атомі,

- час життя у відповідному атомі.

Відповідно до співвідношення невизначеностей Бора-Гейзенберга й зі зменшенням часу осілого життя розмитість енергетичних рівнів збільшується: тобто рівень розмивається в енергетичну зону, яку називають дозволеною енергетичною зоною (рис. 5.3.2).

Таким чином, модель сильного зв'язку теж приводить до смугастого енергетичного спектру. Як і в моделі слабкого зв'язку, чим вище дозволена зона, тим вона ширша, а заборонена вужча.

Отже, моделі слабкого і сильного зв'язку з різних сторін ведуть до одного результату - зонної структури енергетичного спектру електронів у кристалі.