Методичне забезпечення до курсу ФТТ

Основні положення фізики твердого тіла.

1. Теорія вільних електронів у металі

1.1. Основні положення теорії Друде-Лоренца

І Метал складається з іонного каркасу і вільних електронів, .які не зв'язані з конкретними іонами і можуть розглядатися як ідеальний газ. Іони лише забезпечують нейтральність системи і не дають електронам розлітатись.

2. Рух електронів у металі - це поступальний рух вільних частинок між зіткненнями. Підчас зіткнення електрон забуває свою передісторію гак, що незалежно від його попереднього руху відразу після зіткнення , а , де Т- температура в місці зіткнення.

3. Імовірність електрону зазнати зіткнення на протязі малого

часу dt пропорційна цьому часу і рівна , де - час релаксації, а формула справедлива коли .

Знайдемо імовірність для електрона не зазнавати зіткнень на протязі часу t розіб'ємо весь інтервал часу на малі ділянки, кожна з яких набагато менша , тому. Імовірність не зіткнутися на протязі часу t є добутком відповідних імовірностей "а кожній ділянці:

(згідно відомій з математики границі)

Судній час, який проводить електрон до зіткнення, рівний

де і-імовірність уникати зіткнення на протязі часу; t і-імовірність зіткнутися на наступному після цього часу короткому інтервалі dt.

Аналогічно (особливо застаємо увагу на множник 2).

1.2. Закон Ома в диференціальній формі

Почнемо з парадоксу: згідно закону Ома, дія постійного електричного поля на метал викликає постійний струм. Струм пропорційний середній швидкості зарядів. Отже, швидкість виявляється пропорційною силі, що начебто повертає нас від Галілея і Ньютона до Арістотеля. Звичайно, тут вся справа у зіткненнях. Нехай на електрони газу в металі діє поле напруженістю Е, тому на кожен електрон діє зовнішня сила отже кожен електрон між зіткненнями повинен рухатись рівноприскорено. Нехай t- час після останнього зіткнення, а - швидкість після останнього зіткнення. Тоді , а середня швидкість

тому , тому густина струму

Отже

- електропровідність, або , де - питомий опір. Звідси можна отримати звичайну, інтегральну форму:

враховуючи, що

1.3. Закон Джоуля - Ленца

Під час зіткнень електрони передають решітці свою енергію, набуту за рахунок прискорення в зовнішньому полі. Знайдемо, яка енергія виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму, що знаходиться в полі з напруженістю Е . Для цього знайдемо середню зміну енергії електрона під час зіткнення

(див ІІ.1.1).

отже, звідси

1.4. Ефект Холла

Ефект Холла - це виникнення поперечної різниці потенціалів у провіднику із струмом під дією магнітного поля. Холл відкрив це явище в 1879р. дещо випадково, шукаючи інший ефект -магнітоопір. Його логіка була досить простою: під дією магнітного поля (сили Лоренца) рухомі носії заряду повинні відхилятись від свого руху, направленого вздовж силових ліній зовнішнього електричного поля, яке породжує струм. Це відхилення повинно зменшувати середню швидкість дрейфу носіїв заряду. Тому опір, тобто відношення напруги до сили струму, повинен зростати зі збільшенням індукції магнітного поля. Однак в експерименті виявилось, що опір від магнітного поля не залежить. Зате з'являється поперечна різниця потенціалів, яка пропорційна індукції магнітного поля, густині струму і ширині провідника:

. Коефіцієнт пропорційності тепер називають сталою Холла.

Поперечна різниця потенціалів означає існування поперечного електричного поля з напруженістю Пояснення ефекту Холла на основі класичної електронної теорії елементарне: відразу після включення магнітного поля електрони, які дрейфують проти силових ліній електричного поля, дійсно починають відхилятись силою Лоренца до країв пластини (див.

рисунок 1.4.1). Але це мусить призводити до розділення зарядів, тобто до накопичення

електронів на одному краї і до оголення іонів на другому. При цьому виникає і починає зростати поперечне електричне поле. Накопичення зарядів і відповідний ріст поперечного рис 1 4 1 поля тривають доти, поки сила поперечного електричного поля (-е)Еу не компенсує силу Лоренца Після цього струм відновить свою попередню силу, тобто магнітоопір спостерігатись не буде. Час встановлення цього стаціонарного режиму має порядок часу релаксації електронної підсистеми т , тобто дуже малий.

Розглянемо лише стаціонарний випадок, коли різниця потенціалів встановилась, електрони не відхиляються, а значить, проекція результуючої сили на вісь ї дорівнює нулеві.

звідси де отже це умова стаціонарності. Перейдемо до густини струму отже Ефект Холла чутливий до заряду носіїв.

Ця теорія узгоджується з експериментом лише для лужних металів, для інших металів "стала" Холла залежить від магнітного поля і може міняти її знак із зміною магнітного поля. Наприклад, для алюмінію (рис. 1.4.2.). Для багатьох металів і особливо для напівпровідників стала Холла залежить від температури, що не можна пояснити в даній теорії.