Комплексна форма ряду фур’є

Користуючись формулами Ейлера, кожний доданок в сумі (2.5) можна записати у формі

.

Позначаючи для

, ,

,

приходимо до комплексної форми ряду Фур’є:

, .

В цьому випадку рівність Парсеваля записується так:

.

Для дійсних коефіцієнти .

Оскільки при цьому амплітуди і фази з формул (2.8), (2.9) дорівнюють

,

то у випадку, коли дійсний сигнал розкладено в комплексний ряд Фур’є, то амплітудним та фазовим спектром цього сигналу називають відповідно сукупність величин

2.4 Розкладання в ряд Фур’є функцій,

які визначені на відрізку

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які визначені на

Нехай функція , що задана на (див. рисунок 2.7), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.7

Продовжимо її з періодично на усю вісь (див. рисунок 2.8).

Рисунок 2.8

Одержана періодична функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є. Але на розкладається в ряд Фур’є (2.5).

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які задані на

Нехай функція, що задана на (див. рисунок 2.9), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.9

Спочатку продовжимо її парним чином на (див. рисунок 2.10),

Рисунок 2.10

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.11)

Рисунок 2.11

Одержана періодична парна функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах. Але на при розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах.

Аналогічно, продовжуючи непарним чином на (див. рисунок 2.12),

Рисунок 2.12

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.13),

Рисунок 2.13

бачимо, що розкладається в ряд Фур’є (2.14) по синусах.

ЗАВДАННЯ

Періодичний сигнал задано на періоді (див. рисунок 2.14).

Рисунок 2.14

1 Зобразити графік на відрізку .

2 Розкласти в ряд Фур’є в дійсній формі.

3 Знайти амплітудний та фазовий спектри сигналу , обмежуючись першими п’ятьма частотами, починаючи з .

4 Знайти значення суми ряду в точках і порівняти ці значення зі значеннями суми перших п’яти членів ряду Фур’є.

5 Вважаючи, що - струм у провіднику з опором , знайти з допомогою рівності Парсеваля сумарну середню за період потужність гармонічних складових цього струму, починаючи зі складової, що відповідає частоті .

6 Записати одержаний ряд Фур’є в комплексній формі.

Таблиця 2.1

№			Т	С1	С2	t1	t2
1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	4	3	3	-1	–2	6
2	1	2	4	-2	5	–3	7
3	-1	1	5	4	2	–3	4
4	½	3/2	2	1	-2	–1/2	3
5	-2	-1	4	-3	-1	3	4
6	-1	2	5	-2	4	–7	8
7	1/3	2/3	1	-1	3	–2/3	5/3
8	1	5/2	3	-4	-2	–2	5
9	-2	1	6	5	-3	4	8

Продовження таблиці 2.1

1	2	3	4	5	6	7	8
10	-1/2	1	2	3	2	3/2	2
11	-6	-4	5	-2	1	1	7
12	3	5	4	-3	-2	–2	6
13	-1	1	3	4	-1	–5	5/2
14	1/2	1		2	3	0
15	-1/2	1	2	-1	-5	3/2	4
16	-1	2	4	5	2	–3	7
17	-1	3	6	3	-4	–3	8
18	3	4	5	-2	3	–2	7
19	-2	-1	3	-4	-5	-
20	2	3	4	5	2	–2	5
21	-4/5	3/5	3	-3	4	–9/5	11/5
22	1	3	5	1	-5	–4	–3
23	-2	-1	3	-2	-1	–5	3
24	-3/2	-1/2	2	4	1	3/2	3
25	2	4	6	-5	-4	–8	9
26	-1	1	4	2	-3	3	6
27	-4	-2	5	1	4	1	2
28	1	5/2	2	-3	1	1/2	7/2
29	1/2	3/2	3	5	-2	–3/2	4
30	-4	-1	6	-4	2	5	10
31	1	3	3	1	-2	-2	2
32	2	3	5	-2	3

Розв’язання № 31. В цьому випадку:

,

тобто на сигнал має вигляд (див. рисунок 2.15):

Рисунок 2.15

1 Зображуємо сигнал на (див. рисунок 2.16):

2

Рисунок 2.16

3 . Для того, щоб спростити обчислення коефіцієнтів Фур’є, розглянемо сигнал (див. рисунок 2.17):

Рисунок 2.17

.

Оскільки відрізняється від на сталу складову, то їх коефіцієнти Фур’є при співпадають. Тому, використовуючи властивість 3 періодичних функцій, маємо:

Аналогічно

.

Отже, розвинення в ряд Фур’є має вигляд:

. (2.15)

4 Стала складова дорівнює нулю.

Перша гармоніка:

, ;

і тому

.

Друга гармоніка:

, .

і тому

.

Третя гармоніка дорівнює нулю, оскільки:

.

Четверта гармоніка:

;

і тому

.

Зображуємо амплітудний і фазовий спектри, обмежуючись першими п’ятьма частотами (див. рисунок 2.18):

Рисунок 2.18

4 Згідно з теоремою 1 сума ряду ряду Фур’є (2.15) в точках дорівнює відповідно:

.

А сума перших п’яти гармонік в цих же точках має значення відповідно:

,

які мало відрізняються від S(–2) і S(2) відповідно (що свідчить про те, що пункти 2,3 завдання виконані вірно).

5

.

6 При n  1

,

, (оскільки сигнал дійсний). Тому комплексна форма ряду Фур’є (2.15) має вигляд

.

Наостанок наведемо звіт про виконання варіанта № 32, який склала студентка Т. І. Лобода, використовуючи Mathcad, при цьому перелік завдань дещо модифіковано з урахуванням того, що при їх виконанні використовувалась ПЕОМ.