1 Расчет показателей безотказности невосстанавливаемых изделий

Первый показатель - время безотказной работы (наработка до отказа). Для массы однотипных изделий это случайная величина. Закон ее распределения характеризуется так называемой

п л о т н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я в е р о я т н о с т и о т к а з а f(t).

(1)

где п (t) - число отказавших изделий, т.е. вышедших из строя в интервале времени от t до (t +t ); N₀ - первоначальное число испытываемых изделий; t - интервал времени.

Отношение (2)

называется ч а с т о т о й о т к а з о в.

По величине частоты отказов можно судить о числе изделий, которые могут выйти из строя в каком-то промежутке времени, и соответственно установить необходимое количество запасных изделий.

Пример 1.1. При наблюдении за эксплуатацией партии двигателей 500 шт. с ресурсом 300 ч зафиксировано число снятых двигателей в зависимости от времени наработки до отказа:

время наработки t , ч 50 100 150 200 250 300

общее число отказавших двигателей N*_t 20 24 30 34 40 50

Определим частоту отказов в интервале от 200 до 250 часов. Количество отказавших изделий

n(t) = N*₂₅₀ – N*₂₀₀ = 40 - 34 = 6;

интервал времени t = 250 - 200 = 50 ч,

первоначальное число двигателей N₀ = 500;

искомая частота отказов

a(t)=n(t)/N₀ t = 6/500 50 = 0,24 10^-3 1/ч

Если в аналогичных условиях эксплуатировать 250 двигателей, то можно определить, сколько двигателей может выйти из строя в промежутке от 200 до 250 ч работы:

п (t) = a(t) N₀ t = 0,24 10^-3 250 50 =3

Следовательно, для нормальной работы необходимо иметь в резерве три двигателя.

Определим общее число изделий, вышедших из строя к моменту времени t :

или, переходя к пределам,

Вероятность отказа

(3)

Таким образом, вероятность отказа есть интегральная функция распределения времени отказа. Вероятность безотказной работы

(4)

Отсюда следует, что

(5)

P(t) легко вычисляется по соотношению

(6)

или

где N*(t) - количество изделий, вышедших из строя к моменту времени t ;

N(t) - количество изделий, сохранивших работоспособность к моменту времени t

Средняя наработка до отказа

n_i (t) - количество изделий, вышедших из строя в интервале t , но

n_i (t)= a_i(t) N₀ t

тогда

или в интегральной форме (t  0 , i ). После преобразований получим

(7)

Пример 1.2. По данным Примера 1.1 определить вероятность безотказной работы двигателя за ресурс.

Время наработки (ресурс) составляет 300 ч, число отказавших двигателей N*_t = 50, число испытанных двигателей N₀ = 500. Вероятность безотказной работы

P(t=300) = 1 – N*_t/N₀ = 1 - 50/500 = 0,9

Удобной характеристикой безотказности является также и н т е н с и в н о с т ь о т к а з о в - вероятность отказа в единицу времени, отнесенную к числу исправных изделий N_t на данный момент времени:

(8)

Величину (t) легко выразить через рассмотренные ранее функции.

С учетом (6) и (1) получим

(9)

Проинтегрировав выражение (5) с учетом (9) в пределах 0...t , получим

или

(10)

где N(t) – число образцов, исправно работающих к моменту t.

Пример 1.3. Вычислить интенсивность отказов по данным Примера 1.1. Результаты вычислений приведены в таблице

t,ч	П(t)	Nср(t)	(t)
50	20	490	0,82 10-3
100	4	478	0,17 10-3
150	6	473	0,15 10-3
200	4	468	0,17 10-3
250	6	463	0,26 10-3
300	10	455	0,44 10-3

где N_ср (t) - число исправных двигателей, отнесенное к середине интервала t.

Если постоянная интенсивность отказов (t) = const , то согласно (10) вероятность безотказной работы

(11)

Согласно (5) плотность вероятностей отказа

(12)

Для (t) = const среднее время безотказной работы t_ср есть величина, обратная интенсивности отказов:

=

Для высоконадежных систем, для которых t< 0,1, можно воспользоваться приближенными формулами, разложив ехр [-_c t] в ряд и ограничиться первыми двумя членами, тогда

Если средняя скорость износа постоянна, то распределение времени безотказной работы чаще всего подчиняется нормальному закону. В этом случае плотность распределения вероятности отказа

(14)

где t_ср - математическое ожидание случайной величины (наработка до отказа);

 - среднее квадратичное отклонение, характеризующее рассеивание случайной величины около ее среднего значения.

Если скорость износа непостоянна и постепенно уменьшается (упрочнение), то плотность распределения времени безотказной работы достаточно хорошо характеризуется логарифмически нормальным законом, т.е. логарифм времени безотказной работы распределен нормально:

(15)

Широко распространенное распределение Вейбулла хорошо характеризует устройства с большим числом одинаковых или близких по конструкции элементов (турбинные лопатки, подшипники качения и т.д.). В этом случае

(16)

где m, t₀ - постоянные параметры, определяемые по результатам испытаний, const.

При m =1 и t₀ =1/ распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное.

Вероятность безотказной работы

(17)

Интенсивность отказов

(18)

Технологические и эксплуатационные дефекты наиболее часто характеризуются экспоненциальным, нормальным или распределением Вейбулла.

Для того чтобы определить тип распределения по экспериментальным данным необходимо вычислить моменты распределения и параметры диаграммы:

; ; ; ;

где – эмпирическое среднее; m_j – число значений в интервале j; n =m_j; - число интервалов упорядоченного ряда наблюдений; - длина интервала;

Ниже представлена диаграмма по которой возможно приблизительно определить тип распределения.

Оценка параметров для распределений, используемых при испытаниях на безотказность и в теории надежности:

Экспоненциальное =2,0; ₂ =9,0.

Нормальное =0; ₂ =3,0.

Логарифмическое нормальное = ;

₂ =

Вейбулла ;

В этих соотношениях ²=М₂; Г() – гамма – функция (есть таблицы).

. Если  - положительное целое число, то Г()=(-1)!

Параметр  связан с математическим ожиданием распределения Вейбулла .

Процедура проверки согласия опытного и теоретического распределения случайной величины x заключается в получении упорядоченного ряда результатов наблюдений этой величины

в построении на основании их функции накопленных частостей и сравнение этой функции с заданной теоретической.

При использовании критерия * определяют максимальное значение разности накопленной частости F_n(x) и вероятности F(x)

D_n= max [F_n(x)- F(x)]

И вычисляют

_n*= D_n

Задаются доверительной вероятностью

=Р(_n*_n*_табл)

где _n*_табл- табличное значение _n* для заданной доверительной вероятности . Если _n*_n*_табл, то делают заключение, что нет оснований отвергать принятую гипотезу. Если _n*>_n*_табл, то гипотезу отвергают.