1.2Средние величины и показатели вариации

Средние величины характеризуют значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения или, как говорят, цен­тральную тенденцию распределения. Наиболее распространен­ной из средних величин является средняя арифметическая.

Определение. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответ­ствующие частоты, деленная на сумму частот:

(1.2)

где x_i — варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда; n_i— соответствующие им частоты;

Очевидно, что

где w_i=n_i/n — частости вариантов или интервалов.

Для несгруппированного ряда все частоты есть «невзвешенная» средняя арифметическая.

Кроме анали­тических средних величин, в статистическом анализе применяют структурные или порядковые средние. Из них наиболее широко применяются медиана и мода.

Определение. Медианой вариационного ряда назы­вается значение признака, приходящееся на середину ранжирован­ного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с чет­ным числом членов — полусумме двух серединных вариантов.

Для интервального вариационного ряда находится медиан­ный интервал, на который приходится середина ряда, а значе­ние медианы на этом интервале находят с помощью линейного интерполирования. Не приводя соответствующей формулы, от­метим, что медиана может быть приближенно найдена с помо­щью кумуляты как значение признака, для которого n_x^нак = n/2 или w_x^нак =1/2.

Достоинство медианы как меры центральной тенденции за­ключается в том, что на нее не влияет изменение крайних чле­нов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть больше ее. Медиана предпочтительнее средней арифмети­ческой для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.

Определение. Модой вариационного ряда называ­ется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Моду можно найти графическим путем с помощью гис­тограммы.

Особенность моды как меры центральной тенденции заклю­чается в том, что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариа­ции признака.

Средние величины, рассмотренные выше, не отражают из­менчивости (вариации) значений признака.

Простейшим (и весьма приближенным) показателем вариа­ции является вариационный размах R, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

R = x _max – x _min .

Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг сред­ней арифметической.

Средним линейным отклонением вариационного ряда называ­ется средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней арифметической:

(1.3)

(Заметим, что «простая» сумма отклонений не может характеризовать вариацию признака, ибо согласно свойству средней арифметической эта сумма равна нулю для любого вариационного ряда).

Определение. Дисперсией s² вариационного ряда назы­вается средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической:

(1.4)

Формулу для дисперсии вариационного ряда можно представить в виде:

где w_i = п_i/п .

Для несгруппированного ряда (п_i = 1) по формуле (1.4) имеем

Дисперсию s² часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии случайной вели­чины σ²) находится по опытным или статистическим данным.

Желательно в качестве меры вариации (рассеяния) иметь ха­рактеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака. Такой характеристикой является среднее квадратичное отклонение s – арифметическое значение корня квадратного из дисперсии:

(1.5)

Рассматривается также безразмерная характеристика — ко­эффициент вариации, равный процентному отношению среднего квадратичного отклонения к средней арифметической:

(1.6)

Если коэффициент вариации признака, принимающего только положительные значения, высок (например, более 100%), то, как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.