5. Прямая и обратная геодезические задачи

Вычислительная обработка результатов измерений на местности, проводимая при составлении планов, решение ряда задач при проектировании сооружений и геодезической подготовке данных для выноса проекта в натуру непосредственно связаны с решением прямой и обратной геодезических задач.

1. Прямая геодезическая задача.

Сущность данной задачи (рисунок 4): по известным координатам точки 1 (Х₁, У₁) линии 1- 2, дирекционному углу этой линии α_1-2 и ее горизонтальному проложению d_1-2 требуется определить координаты точки 2.

Проведя через точки 1 и 2 линии, параллельные координатным осям, получим прямоугольный треугольник 1 - 2' – 2, в котором известны гипотенуза d_1-2 и острый угол r₁ = α _1-2. Катеты этого треугольника есть приращения координат ∆Х и ∆У, которые могут быть получены по формулам:

∆Х = d _1-2 cosα _1-2

ΔY = d _1-2 sinα _1-2 (11)

Контроль:

d = √ΔХ² + ΔУ²

Следует помнить, что в общем случае знаки приращений координат зависят от четверти, определяемой дирекционным углом заданного направления (см. таблицу 1).

Тогда координаты искомой точки 2 определяются по формулам:

Х ₂ = Х₁ + ΔХ

У₂ = У₁ + ΔΥ (12)

или

Х ₂ = Х ₁ + d _1-2 cosα _1-2

У₂ = У₁ + d _1-2 sinα _1-2 (13)

Приращения координат и координаты искомой точки вычисляются с

точностью, соответствующей точности измерения горизонтальной длины линии.

2. Обратная геодезическая задача

По известным координатам точек 3 (Х ₃, У₃) и 4 (Х₄, У₄) требуется определить горизонтальное проложение стороны d _3-4.

Согласно рисунка 4 и формулам (12) можно записать:

∆Х = Х ₄ – Х ₃

∆У = У ₄ – У ₃ (14)

По найденным значениям приращений координат ΔХ и ΔУ, решая прямоугольный треугольник, вычисляют табличный угол:

tg r =

отсюда

r = arc tg (15)

По знакам приращений координат ΔΧ и ΔΥ определяется, в какой четверти лежит данное направление. Затем, руководствуясь соотношением между табличным и дирекционным углами (см. таблицу 1), находят дирекционный угол направления. Например, в рассматриваемом случае знаки приращений координат показывают, что направление 3-4 расположено в IУ четверти, тогда α _3-4 = 360⁰ – r .

Зная дирекционный угол направления и приращения координат, определяют горизонтальное проложение стороны:

d _3-4 = = = √ ∆Χ ² + ΔΥ² (16)

По формуле (16) значение горизонтального проложения сторон определяется трижды; сходимость результатов служит надежным контролем решения задачи. Наибольшее внимание при решении обратной задачи следует уделять вычислению приращений координат ΔΧ и ΔΥ.