Глава II. Уравнения параболического типа.

Постановка начально-краевых задач. Принцип максимума. Единственность и устойчивость решения. Существование решения. Решение начально-краевой задачи в ограниченной области методом разделения переменных и его представление с помощью функции Грина (источника).

[1] Гл. 6, §§ 1-6. стр. 235-253.

[2] Гл. 3, § 2

Задача на бесконечной прямой. Единственность решения. Построение решения с помощью интегрального преобразования Фурье. Функция источника. Устойчивость решения. Существование решения задачи Коши для непрерывных и кусочно-непрерывных начальных условий. Пример решения задачи Коши с кусочно-постоянным начальным условием. Решение задачи для неоднородного уравнения.

[1] Гл. 6, §§ 7-9, стр. 254-270.

[2] Гл. 3, § 3

Многомерный случай. Функция источника для двумерного и трёхмерного случаев и выражение решений с её помощью. Единственность, устойчивость и существование решений.

[1] Гл. 6, § 10, стр. 271-274.

Начально-краевая задача для уравнения теплопроводности на полубесконечной прямой. Построение решения в случае однородных граничных условий. Принцип продолжения. Функции источника для случаев граничных условий Дирихле, Неймана и Робена. Неоднородные граничные условия. Построение решения начально-краевой задачи с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Принцип Дюамеля.

[1] Гл. 6, § 11, стр. 274-287.

[2] Гл. 3, § 3

Глава III. Уравнения гиперболического типа (уравнения колебаний).

Постановка начально-краевой задачи в ограниченной области.

[1] Гл. 7, § 1, стр.301-302.

Единственность и существование решения. Решение начально-краевой задачи в ограниченной области методом разделения переменных. Функция Грина (функция влияния мгновенного точечного импульса). Выражение решения с помощью функции Грина.

[1] Гл. 7, § 2, стр. 302-304, § 4, стр. 307-310, § 5, стр. 310-314.

[2] Гл. 2, §§ 1,3, гл. 5, § 3

Задача Коши для уравнения колебаний на бесконечной прямой. Формула Даламбера. Исследование решения задачи Коши с помощью фазовой плоскости. Фазовый треугольник. Примеры решений для случаев возмущений начальных условий по смещению и по скорости. Построение решения задачи на бесконечной прямой для неоднородного уравнения колебаний методом интегрирования по фазовой плоскости. Функция источника для уравнения колебаний.

[1] Гл. 7, §7, стр. 317-331.

[2] Гл. 2, § 2

Начально-краевая задача для уравнения колебаний на полупрямой. Однородные граничные условия. Принцип продолжения. Краевой режим (начально-краевая задача Дирихле).

[1] Гл. 7, § 8, стр. 331-335.

[2] Гл. 2, § 2

Задача Коши для уравнения колебаний в неограниченном пространстве. Радиально-симметричный случай. Общий случай: формула Кирхгофа и форомула Пуассона. Метод спуска Адамара. Физическая интерпретация решений. Локальные начальные условия. Принцип Гюйгенса. Установившиеся колебания.

[1] Гл. 7, § 9, стр. 335-352.

[2] Гл. 5, § 1, 2

Литература.

1. А.Г.Свешников, А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та. Изд-во «Наука», 2004.

2. А.Н.Тихонов, А.А.Самарский. Уравнения математической физики. М.: Изд-во «Наука», 1977.

3. А.Н.Боголюбов, В.В.Кравцов. Задачи по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1998.

4. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач по математической физике. М., Изд-во «Наука», 1972.