Часть I. Специальные функции.

Введение. Задача Штурма-Лиувилля в круге и шаре: уравнения Бесселя и Лежандра.

[1] Гл. 4, § 7, стр. 143-144, § 5, стр. 139-140.

Уравнение специальных функций. Лемма о поведении решения в особых точках.

[1] Гл. 4, § 1, стр. 81-83.

[2] Дополнение 2. Специальные функции.

I. Цилиндрические функции.

Уравнение Бесселя. Его решение в виде ряда. Случаи ν≠n, ν=n, ν=0.5n.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 84, 85-88.

Графики. Рекуррентные формулы. Функции полуцелого порядка. Интегральное представление для Γ-функции. Интегральное представление для функции Бесселя Jν –интеграл Зоммерфельда. Случаи ν=n. [1] Гл. 4, § 2, стр. 88-93.

[2] Дополнение 2, часть 1, §§ 1-2, 4

Разложение плоской волны по функциям Бесселя: exp(-ixsinφ)=∑Jν(x)exp(-inx).

[ ]

Функция Ханкеля. Интегральное представление. Функции Ханкеля отрицательного индекса. Связь функций Ханкеля и функции Бесселя. Рекуррентные формулы.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 93-96.

[2] Дополнение 2, часть 1, § 3

Функция Неймана.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 997-98.

[2] Дополнение 2, часть 1, § 3

Определители Вронского для функций Бесселя, Неймана и Ханкеля. Линейная независимость цилиндрических функций.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 98-101.

Графики функций.

[2] Дополнение 2, часть 4

Рекуррентные формулы для цилиндрических функций.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 88-89, 96.

[2] Дополнение 2, часть 1, § 1

Формула перевала для получения асимптотик функций Ханкеля при больших значений аргумента. Асимптотики функций Бесселя и Неймана.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 101-103.

[2] Дополнение 2, часть 1, § 1

Задача Штурма-Лиувилля в круге и цилиндре. Нормы собственных функций при различных граничных условиях.

[1] Гл. 4, § 7, стр. 143-149.

Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента. Решения модифицированного уравнения Бесселя. Функции Инфельда и Макдональда.

Их свойства: асимптотики, графики, рекуррентные формулы.

[1] Гл. 4, § 2, стр. 103-106.

[2] Дополнение 2, часть 1, § 3

Глава II. Классические ортогональные полиномы.

Определение классических ортогональных полиномов. Их свойства: ортогональность с весом, теорема о нулях, система первых производных классических ортогональных полиномов. Система производных любого порядка. Уравнение для классических ортогональных полиномов. Задача Штурма-Лиувилля для классических ортогональных полиномов. Формула для собственных значений. Формула Родрига. Норма для классических ортогональных полиномов.

[1] Гл. 4, § 3, стр. 106-113.

Производящая функция классических ортогональных полиномов.

[1] Гл. 4, § 3, стр.114-115.

Полиномы Эрмита, Лагерра, Якоби, Чебышева.

[1] Гл. 4, § 3, стр. 115-118, 122-130.

[2] Дополнение 2, часть 3 § 3

Полиномы Лежандра: формула Родрига, задача Штурма-Лиувилля,

[1] Гл. 4, § 3, стр. 118-122.

[2] Дополнение 2, часть 3, §§ 1-2

Полные и замкнутые системы функций. Понятие о пространстве Лебега.

[1] Гл. 3, § 3, 57-59.

Производящая функция, рекуррентные формулы, норма, полнота.

[1] Гл. 4, §3, стр. 114-115, 113, 117, 119-120, 124, 127, 117, 121, 126, 128-130.

Графики.

[2] Дополнение 2, часть 4

Присоединённые функции Лежандра. Уравнение, задача Штурма-Лиувилля, норма, полнота и замкнутость.

[1] Гл. 4, § 4, стр. 131-139.

[2] Дополнение 2, часть 2, § 2

Сферические функции.

[1] Гл. 4, § 5, 139-141.

[2] Дополнение 2, часть 2, § 3

Шаровые функции.

[1] Гл. 4, § 6, стр. 142-143.

Задача Штурма-Лиувилля в шаре. Радиальная часть собственной функции.

[1] Гл. 4, § 7, стр. 149-153.

[2] Дополнение 2, часть 2, § 3

Некоторые задачи для уравнения Шрёдингера. Использование классических ортогональных полиномов для их решения.

[2] Дополнение 2, часть 3 § 3