3. Применение метода сил к расчету статически неопределимых балок и рам Пример 7.4.

Построить эпюры Q и М для статически неопределимой бал­ки, изображенной на рис. 7.5., а. Проверить правильность построения эпюры М. Жёсткость балки равна EJ.

Решение

Согласно формуле (23) Л = 4 — 3 =1, следовательно, балка имеет одну лишнюю связь. В качестве основной системы примем балку с защемленным левым концом, полученную из заданной балки в ре­зультате устранения нагрузки и одной связи (шарнирно подвижной опо­ры В). Основная система, нагруженная заданной нагрузкой и неизвестной реакцией связи — силой X₁, действующей но направлению устраненной связи, показана на рис. 7.5,6.

В заданной системе вертикальное перемещение точки В невозможно. В системе по рис. 7.5., б оно также должно быть равно нулю. Составим каноническое уравнение, выражающее это условие:

δ₁₁X₁ + ∆₁p = 0 (27)

Для определения δ₁₁ и ∆_1p строим эпюру М₁ от нагружения основной системы единичной силой Х₁ = 1 (рис. 7.5., в) и эпюру М_р от нагруже­ния этой системы только силой Р (рис. 7.5., г). Перемещение δ₁₁ получим умножением эпюры М₁ на эпюру М₁, т. е. самой на себя, а чтобы полу­чить значение ∆_1p, надо перемножить эпюру М₁ с эпюрой М_р. Итак,

При определении ∆_1p площадь ω взята из эпюры М_р, а ордината у — из эпюры— М₁. Если бы, наоборот, площадь была взята из эпюры М₁, а ордината—из эпюры М_р, то следовало принять во внимание лишь часть acc₁d₁ эпюры М₁, так как во всех сечениях балки в пределах участ­ка СВ изгибающие моменты равны нулю и произведение ωу для этого участка также равно нулю.

Из уравнения (28) находим Х₁

Теперь в системе, показанной на рис. 7.5., б, все силы известны. Вы­числяем поперечные силы в характерных сечениях и строим по ним эпюру Q (рис. 7.5, д):

Для построения эпюры М вычислим изгибающие моменты:

Эпюра М приведена на рис. 7.5., е.

Проверим правильность по­строения окончательной эпюры изгибающих моментов. Наибо­лее надежной является так на­зываемая деформационная или кинематическая проверка. Она заключается в определении пе­ремещений по направлению ка­ждой отброшенной связи путем умножения окончательной эпю­ры М на эпюру М₁ от соответст­вующей единичной силы. Если при этом перемещения по нап­равлению каждой отброшенной связи будут равны нулю, то окончательная эпюра изгибаю­щих моментов построена пра­вильно.

В рассматриваемом приме­ре, отброшена одна вертикаль­ная связь, поэтому определим вертикальное перемещение точ­ки В (∆_В(верт)).

Рис. 7.5. Расчет балки методом сил

Для удобства перемножения эпюр треугольники aa₁d и dсс₁ (см. рис. 7.5., е) заменим треугольниками aa₁c и асс₁ имеющими одно и то же основание ас. Добавленные треугольники a₁dc и adc₁ не влияют на резуль­тат перемножения эпюр М и М₁, так как площади этих треугольников, равные между собой, но противоположные по знаку, умножаются на одну и ту же ординату единичной эпюры М₁ соответствующую центрам тяже­сти площадей треугольников, расположенным на одном перпендикуляре к прямой ас. В дальнейшем при решении других примеров в подобных слу­чаях будем поступать таким же образом. Итак,

Следовательно, окончательная эпюра М построена правильно. Произведем ту же проверку, используя формулу (23);

Как видим, получен тот же результат, что и выше.

Пример 7.5..

Построить эпюры Q, М и N для рамы, изображенной на рис. 7.6., а. Жесткость стойки АС принять равной EJ, жесткость ригеля CD и стойки BD равна 3EJ. Проверить правильность построения оконча­тельной эпюры М.