Окремі випадки руху точки

Рівномірний рух. Рівномірним називається рух точки по траєкторії, при якому числове значення швидкості увесь час залишається постійним; отже, . Тоді

.

Якщо рівномірний рух криволінійний, то прискорення точки буде представлено лише нормальною складовою і а = а_п = V²/. У даному випадку прискорення обумовлене тільки зміною вектора швидкості точки за напрямом.

Якщо рівномірний рух точки відбувається по прямолінійній траєкторії, то й а_п = V²/ = 0. У цьому випадку а_п = а_ = 0, а отже а = 0. Визначимо, що рівномірний прямолінійний рух є єдиним рухом, у якому прискорення точки увесь час дорівнює нулю.

Знайдемо закон рівномірного руху. З формули (1.19) маємо ds = V_  dt. Якщо в початковий момент часу t₀ = 0 точка має координату s₀, то, беручи від лівої і правої частин рівняння визначені інтеграли (з урахуванням, що V_ = const), отримаємо

або .

Остаточно знаходимо закон рівномірного руху точки у вигляді

. (1.26)

Рівнозмінний рух. Рівнозмінним називається рух точки по траєкторії, при якому дотичне прискорення залишається увесь час постійним: а_ = coпst.

Знайдемо закон цього руху, вважаючи, що при t₀ = 0 виконується s =s₀ і V_ = V₀. Відповідно до першої з формул (1.23) dV_ = a_dt. Беручи від обох частин цього рівняння визначені інтеграли (з урахуванням, що а_ = coпst), отримаємо закон зміни швидкості точки при рівнозмінному русі:

. (1.27)

Формулу (1.27) представимо у вигляді

або .

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, знайдемо закон рівнозмінного руху точки:

. (1.28)

Величина швидкості при рівнозмінному русі змінюється за законом (1.27). Якщо модуль швидкості зростає, то рух називається прискореним, а якщо зменшується – уповільненим. При прискореному русі величини V_ і а_ мають однакові знаки (кут між векторами і  гострий, рис. 1.7,а), при уповільненому русі величини V_ і а_ мають різні знаки (кут між векторами і тупий, рис. 1.7, б).

У випадку рівнозмінного прямолінійного руху точки а_п = 0 і у виразах (1.27), (1.28) варто приймати а_ = а .

а) б)

Рис. 1.7

1.3. Приклади розв’язання задач

Задача 1. Закон руху точки М в площині Оху заданий рівняннями , де х, у – у сантиметрах, t – у секундах.

Визначити рівняння траєкторії точки; для моменту часу с знайти швидкість і прискорення точки, її дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривини траєкторії у відповідній її точці. Траєкторію та знайдені векторні величини відобразити на схемі.

Розв’язання. Рівняння траєкторії точки будемо шукати у вигляді залежності між координатами точки (у координатній формі). Для вилучення з рівнянь руху часу , що входить в аргументи тригонометричних функцій, використовуємо формулу

або, вважаючи ,

. (1)

З рівнянь руху знаходимо вираз відповідних функцій і підставляємо в рівняння (1). Отримаємо

,

звідки

. (2)

Отже, траєкторією точки є еліпс, центр С якого має координати (-1, 2), а розміри півосей, паралельних осям х і у, відповідно 4 і 3 см (рис. 1.8, а).

а) б) в)

Рис. 1.8

Швидкість точки знайдемо за її проекціями на осі координат:

.

Підставивши ці вирази у формулу

, (3)

після спрощень отримуємо величину швидкості точки:

. (4)

При с буде см/с, см/с і см/с.

Використовуючи отримані результати, побудуємо на схемі вектор , попередньо визначивши координати точки М₁: х₁ = 2,46 см, y₁ =3,5 см (рис. 1.8,а).

Знайдемо далі прискорення точки:

.

При с буде см/с², см/с² і 1,02 см/с².

За цими результатами будуємо вектор (рис. 1.8,б).

Визначимо тепер дотичне і нормальне прискорення точки, тобто проекції вектора на осі і п.

Дотичне прискорення знайдемо, продиференціючи за часом рівняння (3):

.

Тоді, враховуючи, що маємо

. (5)

Підставляючи в (5) числові значення величин для с, отримуємо = -0,26 см/с².

Нормальне прискорення точки при відомих значеннях величин а і а_ обчислимо за формулою .

Підставивши значення маємо =0,98 см/с².

Зобразимо на рис. 1.8,в координатні складові і , які знайдемо шляхом розкладання вектора на напрями дотичної і головної нормалі п. Напрямок осі  встановлюємо відповідно до знаку проекції (оскільки < 0, то вісь протилежна вектору ), вісь спрямована до неї перпендикулярно у бік угнутості траєкторії.

Радіус кривини траєкторії визначимо за формулою . Підставляючи числові значення V₁ і , знайдемо, = 3,0 см.

Відповідь: 11,72 см/с, = 11,02 см/с², = -0,26 см/с²,

=0,98 см/с², = 3,0 см.

Задача 2. Матеріальна точка рухається у площині Оху. Початкова швидкість утворює з горизонталлю кут . Рух точки задано рівняннями:

,

де g – постійна величина.

Визначити траєкторію, швидкість і прискорення точки, а також висоту траєкторії і час підйому з початкового положення (точки О) до найвищої точки траєкторії.

Розв’язання. Для визначення траєкторії потрібно знайти залежність між координатами х і у точки, що рухається. Визначивши з першого рівняння і підставивши в друге, маємо рівняння траєкторії

. (1)

Траєкторія точки – парабола (рис. 1.9).

Диференціючи рівняння руху за часом, знайдемо:

(2)

1

А

2

Рис. 1.9

звідки

. (3)

Визначаємо прискорення точки. Для проекцій прискорення на осі координат маємо:

. (4)

Таким чином, точка рухається з постійним за модулем і напрямом прискоренням, паралельним вертикальної осі Оу ( це прискорення вільного падіння). Звертаємо увагу на те, що оскільки a = const, рух точки не є рівнозмінним, оскільки умовою рівнозмінності руху є не a = const, а a_ = const. У розглянутому русі, як далі буде визначено, значення a_ не постійно.

Знаходимо a_, диференціючи вираз (3):

.

Тепер визначимо висоту траєкторії руху, тобто координату у_а найвищої точки (рис. 1.9). Оскільки V_Aу = 0 (вектор швидкості є перпендикулярним осі у), то підставивши це значення в друге рівняння (2), знайдемо час руху з точки О в точку А (час підйому): . Підставивши значення в друге із заданих рівнянь руху, після спрощень отримуємо висоту траєкторії:

.

Оскільки розглянутий рух відбувається з постійним прискоренням , але воно є змінним, то на гілці підйому (від точки О до точки А) рух буде уповільненим (див. положення М₁ на рис. 1.9: вектори і спрямовані протилежно), а на гілці спуску – прискореним (див. положення М₂ на рис. 1.9: вектори і спрямовані в один бік).