Тема 12. Относительное расположение прямых и плоскостей

Таблица 12.1. Относительное расположение прямых и плоскостей

Параллельные прямые	Пересекающиеся прямые		Скрещивающиеся прямые
Прямая параллельна плоскости	Прямая лежит в плоскости		Прямая пересекает плоскость
Параллельные плоскости		Пересекающиеся плоскости

Задачи к теме 12

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

12.1(597). Найти косинусы углов между прямыми

и

12.2(599). Найти угол между прямой х + у – z = 0, 2х – 3у + z = 0 и плоскостью 3x + 5у – 4z + 2 = 0.

12.3(603). Даны вершины тетраэдра А = (0, 0, 2), B = (3, 0, 5), С = (1, 1, 0) и D = (4, 1, 2). Вычислить длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

12.4(608). Составить уравнения биссекторных плоскостей двугранных углов между двумя плоскостями:

7x + y ‑ 6 = 0, 3x + 5у – 4z + 1 = 0.

12.5(611*). Внутри треугольника, высекаемого на плоскости Оху плоскостями х + 4у + 8z + 8 = 0, х – 2у + 2z + 2 = 0, 3х + 4у + 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих плоскостей.

12.6(612). Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр, ограниченный плоскостями координат и плоскостью

11x ‑ 10у – 2z ‑ 57 = 0.

12.7(617). Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой

2x + y + z ‑ 1=0, 3x + y + 2z ‑ 3 = 0.

12.8(618). Найти расстояние от точки (1, 2, 5) до прямой

x = t, y = 1 – 2t, z = 3 + t.

12.9(620). Найти расстояние между двумя прямыми:

1) x = 3 + t, y = 1 ‑ t, z = 2 + 2t и х = – t, y = 2 + 3t, z = 3t;

2) и

12.10(621). Найти расстояние между двумя параллельными прямыми:

и .

12.11(631*). Найти точку, симметричную точке относительно прямой .

12.12(638). Через прямую провести плоскость, перпендикулярную к плоскости .

12.13(640*). Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым , при условии, что .

12.14. Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки до прямой . Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

12.15. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Построить уравнение общей нормали.

Тема 13. Простейшие конические сечения

Определение параболы. Парабола – это множество точек, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) совпадает с расстоянием до заданной прямой (директрисы).

Рис. 13.1. Определение параболы. Каноническая система отсчета параболы

Каноническое уравнение параболы

.

Определение эллипса. Эллипс – это множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Y

Рис. 13.2. Определение эллипса. Каноническая система отсчета эллипса

Каноническое уравнение эллипса

.

Рис. 13.3. Основные характеристики эллипса

Рис. 13.4. Определение гиперболы. Каноническая система отсчета гиперболы

Каноническое уравнение гиперболы

.

Рис. 13.5. Вид гиперболы. Основные характеристики гиперболы