Тема 11. Составление уравнений прямых и плоскостей в пространстве
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой
|
|
:
;
:
.2. Уравнение перпендикуляра к данной плоскости, проходящего через данную точку
|
:
|
.3. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и точку
|
|
:
;
:
.4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости
|
|
:
;
:
;
.5. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую параллельно другой прямой
|
:
|
:
;
:
;
.6. Уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно данной плоскости
|
:
:
:
|
;
;
.7. Расстояние между скрещивающимися прямыми и уравнение перпендикуляра
|
: ; : ;
:
|
.
8. Пересечение плоскостей в одной точке
(
,
,
– не компланарны)
|
|
.
9. Биссектральный угол
|
:
1.
2.
|
,
;
:
,
.
;
.10. Отрезок и плоскость
|
|
|
Задачи к теме 11
11.1(543). Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, проходящей через них; если прямые пересекаются, то написать уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку. Система координат аффинная.
1)
|
|
2)
|
|
3)
|
|
4)
|
|
11.2(545). Определить взаимное расположение трех плоскостей в каждом из следующих случаев:
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
,
,
;
4)
,
,
;
5)
,
,
.
Система координат аффинная.
Справочный материал
Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую , называется пучком плоскостей.
Если
и
– уравнения двух различных плоскостей
принадлежащих пучку, то уравнение любой
другой плоскости принадлежащей пучку
имеет вид:
,
где
и
– одновременно не равные нулю постоянные
величины.
11.3(567). Написать уравнение плоскости, зная, что точка (2, 6, –4) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Система координат прямоугольная.
11.4(570). Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости х + 3у – 5z – 10 = 0 и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью Оху. Система координат прямоугольная.
11.5(571). В пучке, определяемом плоскостями 2х + у – 3z + 2 = 0 и 5x + 5у – 4z + 3 = 0, найти две перпендикулярные друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку (4, ‑3, 1). Система координат прямоугольная.
11.6(573). Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и перпендикулярной к плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Система координат прямоугольная.
11.7(577). Написать уравнения и найти длину d перпендикуляра, опущенного, из точки (–3, 13, 7) па прямую
.
Система координат прямоугольная.
11.8(578). Найти ортогональную проекцию точки (1, 3, 5) на прямую 2х + у + z – 1 = 0, 3x + у + 2z – 3 = 0. Система координат прямоугольная.
11.9(582). Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относительно плоскости 2х – 3у + 5z – 68 = 0. Система координат прямоугольная.
11.10(584). Составить уравнения проекции прямой х = 3 + 5t, y = ‑ 1 + t, z = 4 + t на плоскость 2х – 2у + 3z – 5 = 0. Система координат прямоугольная.
11.11(585*). 1) Написать уравнения общего перпендикуляра к двум прямым:
,
и найти расстояние d между этими прямыми;
2) найти точки пересечения общего перпендикуляра к данным прямым с этими прямыми.
Система координат прямоугольная.
11.12(586). Провести через точку пересечения плоскости х + у + z – 1 = 0 с прямой у = 1, z + 1 = 0 прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой. Система координат прямоугольная.
11.13(591). Через точку (1, 2, 3) провести
плоскость, перпендикулярную к плоскости
5х – 2у + 5z – 10 = 0 и образующую
с плоскостью х – 4у – 8z
+ 12 = 0 угол
.
Система координат прямоугольная.
11.14(593). Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
и образующей угол с прямой x – у + z = 0, х – у + 2z = 0. Система координат прямоугольная.