Задача 12.14
Определить проекцию точки на прямую в пространстве, расстояние от этой точки до прямой . Получить уравнение перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Решение
1. Пусть точка
является проекцией заданной точки
на прямую
,
причем
.
Тогда вектор
является компонентом вектора
перпендикулярным
:
, (12.14.1)
где
– любая точка заданной прямой.
Так как точка
принадлежит прямой, то ее радиус-вектор
может быть записан в виде
,
где
– значение параметра, соответствующее
точке
.
Тогда для
получаем:
. (12.14.2)
Длина этого вектора определяет расстояние
от точки
до прямой:
. (12.14.3)
2. Можно найти расстояние от точки до
прямой чисто геометрическим методом.
Давайте соединим точку
с любой точкой на прямой, например с
точкой
.
Выберем на прямой другую точку, не
совпадающую с
,
например
(
),
и отложим от точки
отрезок
,
параллельный отрезку
,
так, чтобы точки
и
оказались в одной полуплоскости.
Площадь полученного параллелограмма
будет равна величине векторного
произведения
,
в высота, проведенная из точки
к основанию
является искомым расстоянием от точки
до прямой. Высоту параллелограмма можно
найти, разделив его площадь на длину
основания, к которому проведена эта
высота:
. (12.14.4)
В это равенство подставим выражения для радиус-векторов точек и , принадлежащих прямой:
. (12.14.5)
Особенностью такого решения является
то, что в качестве точек
и
можно выбирать какие угодно несовпадающие
точки прямой. Например, можно было
выбрать такие точки
и
,
чтобы
,
и сразу получить искомый результат,
совпадающий с (12.14.3).
3. Однако полное решение этой задачи требует, чтобы мы нашли еще и местоположение точки – проекции точки на заданную прямую. Эту задачу решим чуть по-другому.
Пусть точка на прямой задана своим параметром:
. (12.14.6)
Чтобы найти значение
,
потребуем, чтобы вектор
был ортогонален прямой, то есть
.
Тогда имеем
. (12.14.7)
Отсюда получаем, что
. (12.14.8)
Следовательно, радиус-вектор точки равен
. (12.14.9)
Зная
,
можно задать уравнение перпендикуляра,
например, как уравнение прямой, проходящей
через две точки.
Кроме того, можно проверить согласованность
разных решений. Так для разности
мы теперь получаем выражение
, (12.14.10)
из которого следует (12.14.3).
Рис. 12.1. Расстояние от точки до прямой и между скрещивающимися прямыми
Задача 12.15
Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. Построить уравнение общей нормали.
Решение
Эту задачу тоже можно решать в три этапа. Сначала найдем расстояние между скрещивающимися прямыми. Потом дадим геометрическое объяснение полученного ответа, а затем получим уравнение прямой – общей нормали к данным прямым.
1. Пусть обе прямые заданы векторными параметрическими уравнениями
и
, (12.15.1)
где заданы радиус-векторы точек
и
,
через которые проходят прямые, их
направляющие векторы
и
.
Величины
и
являются параметрами для первой и второй
прямой соответственно.
В этом случае сразу можно указать вектор
,
перпендикулярный обеим прямым:
. (12.15.2)
Этот вектор является направляющим вектором для общего перпендикуляра.
Теперь соединим направленным отрезком любую точку на второй прямой с любой точкой на первой прямой :
. (12.15.3)
Предположим, что вектор
,
соединяющий точку
на второй прямой с точкой
на первой, перпендикулярен обеим прямым.
Тогда этот вектор параллелен вектору
, а длина его равна искомому расстоянию
между прямыми
.
В то же время точка
является ортогональной проекцией точки
на прямую
,
а точка
– ортогональной проекцией точки
на прямую
.
Следовательно, отрезок
есть не что иное, как ортогональная
проекция отрезка
на отрезок
или на вектор
:
. (12.15.4)
Отсюда для
получаем
. (12.15.5)
Длина этого вектора равна расстоянию между скрещивающимися прямыми:
. (12.15.6)
2. Геометрический смысл полученного результата.
Получим выражение (12.15.6) методом,
аналогичным приведенному во втором
действии задачи 12.14. От произвольной
точки
второй прямой отложим векторы
,
и направленный отрезок
,
где точка
– произвольная точка первой прямой.
Теперь построим на этих трех векторах
параллелепипед. Высота этого параллелепипеда
и будет определять расстояние между
данными скрещивающимися прямыми.
Объем этого параллелепипеда равен модулю смешанного произведения этих трех векторов:
, (12.15.7)
а площадь основания определяется величиной векторного произведения векторов , :
. (12.15.8)
Следовательно, высота оказывается равной
. (12.15.9)
Это соотношение совпадает с результатом (12.15.6) и объясняет его геометрический смысл.
3. Для полного решения задачи нам надо определить местоположение точек и , которые были введены в первом действии. Эти точки являются концами общего перпендикуляра к заданным скрещивающимся прямым. Следовательно, направленный отрезок
, (12.15.10)
колинеарен нормали
,
общей для заданных прямых. Здесь
– значение параметра, которое соответствует
точке
,
а
– точке
.
Условие перпендикулярности выразим в
виде равенства нулю соответствующих
скалярных произведений:
(12.15.11)
где для удобства введен вектор
.
После простейших преобразований получаем
такую систему уравнений относительно
неизвестных
и
:
(12.15.12)
Решение этой системы можно записать в виде
(12.15.13)
Здесь величина
может быть записана в виде
, (12.15.14)
полученном в задаче 7.9(1). Выражение же для числителя можно пока не упрощать. Для другого параметра аналогично получаем:
. (12.15.15)
Мы получили значения параметров, соответствующие точкам и , а следовательно, знаем теперь радиус-векторы этих точек, и, значит, можем построить уравнение общего перпендикуляра как прямой, проходящей через эти точки:
. (12.15.16)
С другой стороны, мы получили еще одно выражение для вектора , который должен совпадать с ранее полученным (12.15.5).
. (12.15.17)
То есть мы должны убедиться в справедливости равенства
(12.15.18)
которое после умножения на
принимает вид
(12.15.19)
Убедиться в том, что левую часть этого
равенства можно представить в виде
правой части можно таким способом.
Представим левую часть этого равенства
в виде неизвестного вектора
:
(12.15.20)
Сначала скалярно умножаем
поочередно на вектор
и на
,
и убеждаемся в том, что эти произведения
равняются нулю. Значит, вектор
перпендикулярен векторам
и
,
а следовательно, он параллелен вектору
и его можно представить в виде
. (12.15.21)
Чтобы найти коэффициент , умножаем на векторное произведение и для получаем следующее соотношение:
. (12.15.22)
Откуда находим, что
. (12.15.23)
Следовательно, вектор равен
, (12.15.24)
что и требовалось доказать.
В качестве дополнительного упражнения можно попытаться доказать равенство (12.15.19) путем последовательных прямых преобразований левой части в правую. Дадим только небольшую подсказку. Если перенести первое слагаемое в левой части направо, то в правой части окажется двойное векторное произведение некоторых векторов.
ОТВЕТЫ
1.1.
,
,
,
.
1.2.
,
,
.
1.3. 0. 1.4.
,
.
1.5. Точка
пересечения медиан треугольника. 1.6.
Точка пересечения прямых, соединяющих
середины противоположных сторон
четырехугольника. 1.7.
– точка, в которой пересекаются семь
прямых: три прямые, проходящие через
середины противоположных ребер тетраэдра,
и четыре прямые, проходящие через вершины
тетраэдра и точки пересечения медиан
противоположных граней. 1.8. Указание.
Повернуть плоскость многоугольника
вокруг его центра на центральный угол
многоугольника. 1.9. 
.
1.10.
,
,
,
,
,
,
.
1.11.
.
1.12. 
.
1.13.
,
,
,
.
1.14.
.
2.1. 1) Векторы
,
,
линейно независимы. 2) Векторы
,
,
линейно зависимы, и
.
3) Векторы
,
,
линейно зависимы, но вектор
не может быть представлен как линейная
комбинация векторов
и
,
так как векторы
и
коллинеарны между собой, а вектор
им не коллинеарен. 2.2. 
.
2.3. 
.
2.4. 
,
.
2.5. 
.
2.6.
.
2.7.
.
2.8. 5. 2.9.
,
,
,
.
2.10.
,
.
2.11.
,
.
2.12.
.
2.13.
.
3.1. 1) 
;
2) – 8; 3) – 2; 4) 
.
3.2. 
.
3.3. 
,
,
,
,
.
Указание. Выбрать систему координат
так, чтобы
,
.
3.4. 
.
Указание. Принять точку
за начало координат, а точку
за единичную точку. 3.5. 
.
3.6.
,
,
.
3.7.
.
3.8. 
.
3.9. 
.
3.10. Пересекает ось
и не пересекает осей
и
.
3.11. Пересекаются в точке
.
3.12. 
,
,
.
4.1. 1)
;
2) 
;
3) 
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4. 
,
,
,
.
4.5.
,
.
4.6.
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
;
:
,
,
.
4.7.
,
,
.
4.8. 
.
4.9.
.
5.1.
.
5.2. – 19.
5.3. 0. 5.4.
.
Указание. Ввести прямоугольную систему
координат, приняв за начало координат
вершину
треугольника и за базисный вектор оси
абсцисс вектор
.
5.5. 
.
5.6.
.
5.7. 5;
,
,
.
5.8.
.
5.9.
.
5.10.
.
5.11. 
,
,
.
5.12.
,
или
,
.
5.13.
,
.
Указание. Если
– середина диагонали
,
то вершины
и
мы получим, повернув вектор
один раз на угол
,
другой раз на угол
.
6.1. 
.
6.2. 
.
6.3. 9. 6.4. 48. 6.5. Два решения:
1)
;
2) 
,
векторы
,
,
попарно ортогональны. 6.9. 
.
7.1.
,
где
,
,
.
7.2.
.
7.3. 
.
Указание. Разложить вектор
по базису
,
,
.
7.4. 
.
7.7. Равенство имеет место тогда и
только тогда, когда выполнено по крайней
мере одно из двух условий: 1) вектор
перпендикулярен векторам
и
;
2) векторы
и
коллинеарны. 7.8. 1) 
;
2) 
,
где
принимает все действительные значения.
7.9. 
.
Указание. Ввести ортонормированный
базис. 7.10. 
.
7.11. Если
,
то решений нет. Если же
,
то
.
7.12. Если
,
то задача имеет 2 решения:
,
,
где
.
Если
,
то одно решение:
,
.
Если
,
то решений нет. 8.1. 
,
.
8.2. 1) 
,
,
;
2) 
,
,
;
3) 
,
,
,
.
8.3. 1) 
,
,
;
2) 
,
,
,
;
3) 
,
,
,
.
8.4.
,
,
,
.
8.5. 
,
.
8.6.
.
9.1. 
.
9.2. 
.
9.3.
.
9.4.
.
Вершины
,
,
.
9.5. 1) Прямые
образуют треугольник; 2) прямые имеют
одну общую точку; 3) первая и третья
прямые параллельны, вторая их пересекает;
4) прямые попарно параллельны. 9.6. Точки
,
и
лежат в полосе, точки
и
принадлежат одной смежной области,
точка
– другой внешней области. 9.7. Прямая
пересекает продолжение отрезка
за точку
.
9.8. Точка
лежит на продолжении стороны
за вершину
.
Точка
лежит в области, ограниченной стороной
и продолжениями сторон
и
за точки
и
.
Точка
лежит в области, ограниченной продолжениями
сторон
и
за вершину
.
9.9.
.
9.10.
.
9.11.
,
,
.
9.12.
.
9.13. 
,
.
9.14.
.
9.15.
,
,
.
10.1. 1)
,
;
,
;
,
;
2)
,
;
,
;
,
;
3)
;
;
.
10.2. 
.
10.3.
,
;
,
;
,
.
10.4.
,
.
10.5.
.
10.6. 
.
10.7.
,
.
10.8.
,
.
10.9. 1)
;
2)
,
;
3)
,
.
10.10. 1) Пересекаются; 2) параллельны;
3) совпадают. 10.11. 1) Пересекаются;
2) параллельны; 3) совпадают. 10.12.
1) Прямая и плоскость пересекаются в
точке
;
2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая
лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость
пересекаются в точке
.
10.13. 1) Пересекаются в точке
и лежат в плоскости
;
2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат
в плоскости
;
4) совпадают. 11.1. 1) Пересекаются в
точке
и лежат в плоскости
;
2) скрещиваются; 3) параллельны и лежат
в плоскости
;
4) совпадают. 11.2. 1) Три плоскости
пересекаются в точке
;
2) три плоскости попарно параллельны;
3) три плоскости проходят через одну
прямую; 4) плоскости попарно пересекаются
и линия пересечения каждых двух плоскостей
параллельна третей плоскости; 5) первая
и третья плоскости параллельны; вторая
их пересекает. 11.3. 
.
11.4.
.
Указание: воспользоваться уравнением
пучка плоскостей. 11.5.
и
.
11.6. 
.
11.7.
,
.
11.8. 
.
11.9. 
.
11.10. 
,
.
11.11. 1) 
;
,
;
2)
,
.
11.12.
,
.
11.13. Два решения:
,
.
11.14. Два решения:
,
.
Указание. Рассмотреть пучок плоскостей,
осью которого является данная прямая.
12.1. 
.
12.2.
.
12.3.
.
12.4.
,
.
12.5.
.
12.6. Центр
,
радиус равен
.
12.7.
.
12.8.
.
12.9. 1)
;
2)
.
12.10. 3. 12.11. 
.
12.12.
.
12.13.
,
.
12.14. 
,
,
.
12.15. 
,
,
где
,
.
13.1. 1) 
,
;
2)
,
;
3) 
,
;
4) 
,
.
13.2. 1) Множество всех внутренних
точек полукруга, ограниченного окружностью
и ее диаметром, лежащим на прямой
,
в которой лежит точка
;
2) множество всех точек большего из двух
сегментов, на которые данная прямая
разбивает данный круг. 13.3. 
.
13.4. Два решения:
,
.
13.5. 
.
13.6. 
.
13.7. 
.
Указание. Рассмотреть уравнение пучка
окружностей
.
13.8. 
,
где
.
13.9. 
.
13.10.
.
13.11. 
.
13.12. 
.
13.13. Окружность
.
13.14. 
.
13.15. 
.
13.16. Два решения:
,
.
13.17. 
.
Указание. Уравнение искомой линии может
быть представлено в виде
.
13.18. 
.
13.19.
.
14.1. 
.
Указание. Принять оси эллипса за оси
новой прямоугольной системы координат.
14.2. 
.
14.3. 
.
14.4. 1) 
,
:
;
,
: 
;
2) 
,
:
;
,
: 
;
3) 
,
:
.
14.5. 
,
.
14.6.
,
:
.
14.7.
,
:
;
,
: 
.
14.8.
,
.
14.9. 
.
Второй фокус
,
вторая директриса
.
14.10. 
.
Второй фокус
,
вторая директриса
.
14.11. 
.
14.12.
.
14.13.
.
14.14.
.
14.15. Два решения:
;
.
14.16. Два решения:
;
.
14.17.
.
14.18. Две параболы с общим фокусом в
центре данной окружности и директрисами,
параллельными данной прямой. В случае
внешнего касания постоянной и переменной
окружности параметр параболы равен
.
В случае внутреннего касания параметр
равен
,
где
– радиус окружности,
– расстояние от ее центра до данной
прямой. Указание. Найти директрису
кривой. 14.19. 
.
15.1. 
,
.
15.2.
,
.
15.3. 
,
.
15.4.
.
15.5. 2. 15.6.
.
15.7. 
.
15.8. 
.
15.9.
.
15.10.
.
15.11. 
.16.1. 1) Эллипс;
большая полуось равна 4, малая полуось
равна 3, центр
,
направляющий вектор большой оси
;
2) гипербола; действительная полуось
равна 1, мнимая полуось равна 2, центр
,
направляющий вектор действительной
оси
;
3) парабола; параметр равен 2, вершина
,
направляющий вектор оси в сторону
вогнутости
;
4) эллипс, большая полуось равна 5, малая
полуось равна 3, центр
,
направляющий вектор большой оси
;
5) гипербола; действительная полуось
равна 4, мнимая полуось равна 2, центр
,
направляющий вектор действительной
оси
;
6) парабола; параметр равен
,
вершина
,
направляющий вектор оси в сторону
вогнутости
;
7) пересекающиеся прямые
,
;
8) параллельные прямые
,
;
9) парабола с параметром
,
вершина
,
направляющий вектор оси в сторону
вогнутости
;
10) гипербола; действительная полуось
равна
,
мнимая полуось равна
,
центр
,
направляющий вектор действительной
оси
;
11) эллипс; полуоси
,
;
центр
,
оси параллельны осям координат. 16.2.
При
– гипербола
,
действительная ось которой параллельна
оси
;
при
– две пересекающиеся прямые
,
;
при
– гипербола
,
действительная ось которой параллельна
оси
;
при
– парабола
;
при
– эллипс
(при
– окружность
).
16.3. 1) Эллипс
,
,
,
(рис. О1); 2) гипербола
,
,
,
(рис. О2); 3) парабола
,
,
,
(рис. О3);
|
|
|
Рис. О1 |
Рис. О2 |
Рис. О3 |
4) пересекающиеся
прямые
,
;
5) параллельные прямые
,
;
6) эллипс
,
,
,
;
7) гипербола
,
,
,
;
8) парабола
,
,
,
;
9) пересекающиеся прямые
,
;
10) параллельные прямые
,
;
11) эллипс
,
,
,
;
12) гипербола
,
,
,
;
13) парабола
,
,
,
;
14) пересекающиеся
прямые
,
;
15) параллельные прямые
,
;
16) эллипс
,
,
,
;
17) гипербола
,
,
,
;
18) парабола
,
,
,
;
19) пересекающиеся прямые
,
;
20) параллельные прямые
,
.
16.4. При
– гипербола
,
действительная ось которой имеет угловой
коэффициент, равный –1; при
– две параллельные прямые
;
при
– эллипс
,
большая ось которого имеет угловой
коэффициент, равный –1 (при
– окружность
);
при
– две параллельные прямые
;
при
– гипербола
,
действительная ось которой имеет угловой
коэффициент, равный 1. 16.5. 1) 
,
;
2) 
,
.
16.6.
.
16.7. 
.
16.8.
,
.
17.1. 1) 
,
;
2) 
,
;
3)
,
;
4)
,
.
17.2.
Центр
,
радиус равен 3. 17.3. 
.
17.4. 
.
17.5. 
.
17.6. 
;
каноническое уравнение
.
17.7. 1) Пара
пересекающихся плоскостей
,
;
2) сфера
;
3) круглый цилиндр
;
4) круглый конус
;
5) пара параллельных плоскостей
.
17.8. 1) Эллипсоид
;
центр
,
большая, средняя и малая оси соответственно
параллельны осям
,
,
;
2) однополосный гиперболоид вращения
;
центр
,
ось вращения параллельна оси
;
3) круглый конус
;
вершина
,
ось вращения параллельна оси
;
4) параболоид вращения;
,
вершина
,
направляющий вектор оси вращения
.
17.9.
1) Круговой цилиндр
с радиусом
;
ось цилиндра проходит через точку
и имеет направляющий вектор
;
2) параболический цилиндр
;
параметр параболы
,
,
являющейся направляющей цилиндра, равен
,
вершина параболы
;
направляющий вектор оси параболы в
сторону вогнутости
,
направляющий вектор образующих цилиндра
;
3) параболический цилиндр
;
параметр параболы
,
равен
,
вершина параболы
;
направляющий вектор оси параболы в
сторону вогнутости
,
направляющий вектор образующих цилиндра
.