Задача 5.6

Представить вектор в виде суммы двух векторов, один из которых параллелен заданному ненулевому вектору , а другой перпендикулярен.

Решение

1) В задаче требуется представить вектор в следующем виде

,

где – параллелен вектору , а – перпендикулярен .

2) Для в силу его параллельности ненулевом вектору следует существование такого числа , что . Тогда вектор оказывается равным

.

3) Вектор перпендикулярен , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

.

Из этого уравнения уже можно найти величину :

.

4) Теперь можно выписать искомое выражение для вектора :

.

Для перпендикулярной составляющей пока (до следующего раздела) получаем следующее выражение:

.

5) Во время решения задачи мы получили общую формулу для проекции одного вектора на другой, ведь ни что иное, как проекция вектора на вектор . Таким образом

.

Задача 7.1

Представить заданный данный вектор в виде разложения произвольного вектора по трем заданным некомпланарным векторам , и .

Решение

По условию задачи необходимо представить вектор в следующем виде:

. (7.1.1)

Искомые коэффициенты , и представляют собой не что иное, как координаты вектора в базисе, составленном из векторов , и . Существование и единственность такого представления исследована в [2] (см. теоремы 7, 8 в разделах 3, 4).

Для решения задачи воспользуемся тем свойством смешанного произведения, согласно которому смешанное произведение, содержащее два одинаковых вектора, равно нулю. Умножим скалярно левую и правую часть соотношения (7.1.1) на векторное произведение :

. (7.1.2)

Отсюда можно найти коэффициент

. (7.1.3)

Заметим, что согласно условию задачи величина , стоящая в знаменателе не равна нулю. Полученный результат можно переписать другим образом:

. (7.1.4)

Аналогично получаем коэффициенты и умножая соотношение (7.1.1) на величины и , соответственно:

. (7.1.5)

Коэффициент в разложении вектора по базису равен дроби, в знаменателе которой стоит смешанное произведение базисных векторов, а в числителе – это же смешанное произведение, в котором данный вектор стоит вместо базисного вектора, соответствующего искомой координате.

Задача 7.2

Упростить выражение

.

Решение

Для решения задачи рассмотрим двойное векторное произведение , где в качестве первого вектора возьмем , второго – , а третьего – . Тогда

.

Умножая это произведение на получаем

.

Таким образом, мы показали, что некомпланарность векторов , и эквивалентна некопланарности векторов , и , то есть величины

равны (или не равны) нулю одновременно.

Задача 7.3

Определить вектор по заданным скалярным произведениям , и .

Решение

Предложим такое разложение вектора , чтобы после соответствующих скалярных умножений получалось наиболее простые выражения, желательно содержащие по одному из неизвестных коэффициентов разложения. Одно и таких разложений имеет вид :

. (7.3.1)

Действительно, после скалярного умножения на любой из векторов , и справа будет оставаться только одно из слагаемых. В тоже время слева будут получаться заданные по условию задачи соответствующие скалярные произведения. Например:

. (7.3.2)

Отсюда получаем:

. (7.3.3)

Аналогично и для других коэффициентов:

и . (7.3.4)

В итоге, для вектора получаем окончательное выражение

. (7.3.5)

Мы видим, что для существования решения необходимо по крайней мере чтобы знаменатели в (7.3.5) не равнялись нулю, то есть векторы , и не были компланарными.

Задача 7.4 (продолжение задачи 5.6)

Найти компонент вектора ортогональный вектору .

Решение

В задаче 5.6 был найден компонент вектора параллельный ненулевому вектору :

.

Отсюда можно найти компонент вектора перпендикулярный вектору :

.

Теперь приведем правую часть этого выражения к общему знаменателю:

.

В числителе стоит не что иное, как двойное векторное произведение . Значит, искомое выражение для выглядит так:

.

Задача 7.6(1)

Доказать, что

.

Решение

Величина представляет собой смешанное произведение трех векторов . Следовательно, в нем можно переставить знаки местами:

.

В фигурных скобках стоит двойное векторное произведение, которое раскрываем согласно правилу:

Раскрывая фигурные скобки, окончательно получаем искомое соотношение.

.

Отметим частный случай соотношения , в котором векторы и , а также и совпадают:

.

Это соотношения связывает длины векторного и скалярного произведения двух векторов:

.

Причем последнее соотношение может быть доказано прямо из определений длин векторного и скалярного произведения:

.

Это равенство справедливо в силу соотношения .