Тема 15. Касательные к линиям второго порядка

Таблица 15.1. Уравнения касательных к кривым второго порядка

Кривая 2-го порядка	Уравнение касательной к точке
1. Эллипс
2. Гипербола
3. Парабола

Задачи к теме 15

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

15.1(828). Составить уравнения касательных к эллипсу

,

проведенных из точки (12, –3).

15.2(829). Написать уравнения касательных к гиперболе , проведенных из точки (1, 4).

15.3(830). Написать уравнения касательных к параболе , проведенных из точки .

15.4(831). Дано уравнение касательной к параболе . Составить уравнение параболы.

15.5(832). Найти кратчайшее расстояние параболы от прямой .

15.6(833). Написать уравнения касательных к эллипсу параллельных прямой .

15.7(838*). Написать уравнения касательных к эллипсу , расстояния от которых до центра эллипса равны 3.

15.8(843). Гипербола, оси которой совпадают с осями координат, касается прямой в точке . Составить уравнение этой гиперболы.

15.9(844). Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее асимптот и уравнение одной из ее касательных .

15.10(849). Эллипс, имеющий фокусы в точках (–3, 0), (3, 0), касается прямой . Составить уравнение эллипса.

15.11(852*). Определить общие касательные к параболе и к эллипсу .

Тема 16. Общая теория кривых второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка

Инварианты кривых второго порядка

, где ;

, где ;

, где .

Задачи к теме 16

Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.

16.1(805). С помощью переноса осей координат установить, какая линия определяется каждым из следующих уравнений, и найти ее расположение относительно данной системы координат:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) .

16.2(806*). Линия второго порядка определяется уравнением

.

Определить тип линии при изменении параметра от до и найти ее расположение относительно данной системы координат.

Справочный материал

Теорема про полуинвариант кривой второго порядка. Функция коэффициентов общего уравнения кривой второго порядка

является инвариантом относительно поворотов, а для линий, у которых и , функция инвариантна и при параллельных переносах.

Таблица 16.1. Классификация кривых второго порядка

N			Тип			Название кривой	Уравнение
1.	Центральные I2 ≠ 0		Эллиптический			Эллипс
2.						Точка (пара мнимых пересекающихся прямых)
3.						Мнимый эллипс
4.			Гиперболический			Гипербола
5.						Пара пересекающихся прямых
6.	Нецентральные		Параболический			Парабола
7.				I3=0	K<0	Пара параллельных прямых
8.					K=0	Пара совпадающих прямых
9.					K>0	Пара параллельных мнимых прямых

Алгоритм определения вида кривой второго порядка с помощью инвариантов

Определение параметров кривой второго порядка

.

1. Эллипс и гипербола

Координаты центра:

Корни характеристического уравнения: .

Дискриминант .

Угол поворота ( ): , ,

, .

Вещественный и мнимый эллипс: .

Полуоси: .

Гипербола: .

Полуоси: , где .

2. Пересекающиеся прямые (диагонали основного прямоугольника)

или .

3. Параллельные прямые

или .

4.Парабола

Параметр: .

Угол поворота:

; .

Ось параболы: , или .

Вершина определяется как точка пересечения параболы с ее осью.

5. Оси координат канонической системы отсчета

Ось абсцисс: .

Ось ординат:

У параллельных прямых определена только ось абсцисс одним из уравнений:

или .

16.3(807). Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) .

16.4(808*). Линия второго порядка определяется уравнением . Определить тип линии при изменении параметра от до и найти ее расположение относительно данной системы координат.

16.5(875). Найти асимптоты следующих гипербол:

1) ;

2) .

16.6(877). Написать уравнение диаметра эллипса , проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом на прямой .

16.7(879). Составить уравнение такой хорды эллипса , которая точкой (2, 1) делится пополам.

16.8(880). Дана линия второго порядка

.

Найти сопряженные диаметры этой линии, один из которых параллелен оси ординат.