Уравнение при вершине
Рис. 14.4. Семейство кривых второго порядка, которые описываются уравнением при вершине для различных значений эксцентриситета. Стрелкой показано смещение одного из фокусов
Оптические свойства кривых второго порядка
Рис. 14.5. Оптические свойства эллипса
а) б)
Рис. 14.6 а) и б). Оптические свойства параболы и гиперболы
Задачи к теме 14
Во всех задачах этой темы система координат – прямоугольная.
14.1(751*). Написать уравнение эллипса, для которого прямые х + у – 1 = 0 и х – у + 1 = 0 суть соответственно большая и малая оси и длины полуосей которого а = 2, b = 1.
14.2(752*). Написать уравнение параболы, осью которой служит прямая х + у + 1 = 0 и которая проходит через точки (0, 0), (0, 1).
14.3(753*). Написать уравнение гиперболы, зная ее ось 2х – у + 2 = 0, асимптоту у = 0 и точку (1, 1).
14.4(759). Найти фокусы
,
и соответствующие им директрисы следующих
линий:
1)
;
2)
;
3)
.
14.5(760). Найти фокус и директрису параболы
.
14.6(761). Найти фокус F и директрису
d параболы
.
14.7(762).
Найти фокусы и директрисы равносторонней
гиперболы
.
14.8(763). Написать уравнения эллипса и гиперболы с фокусами (7, 0) и (–7, 0), проходящих через точку (–2, 12).
14.9(764).
Написать уравнение линии второго
порядка, зная ее фокус
(2, 0), соответствующую
ему директрису x = 8 и
эксцентриситет е =
.
Найти второй фокус и вторую директрису
линии.
14.10(765). Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение х = 5, зная, что линия проходит через точку (10, 6). Найти второй фокус и вторую директрису этой линии.
14.11(766). Написать уравнение линии второго порядка, фокус которой находится в точке (2, 0), соответствующая ему директриса имеет уравнение х = 6, зная, что линия проходит через точку (–4, 8).
14.12(771). Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние между фокусами есть среднее арифметическое длин осей.
14.13(772). Найти эксцентриситет эллипса, зная что стороны вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса.
14.14(778). Дана парабола . Написать уравнение другой параболы, имеющей с данной параболой общую фокальную хорду, т. е. хорду, проходящую через фокус параболы и перпендикулярную к ее оси.
14.15(781). Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки (4, 2) пересечения ее директрис и асимптот.
14.16(785*). Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная ее фокус (1, 1) и асимптоту х + у = 0.
14.17(787*). Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты (1, 0), (0, 1) и большая ось равна 2.
14.18(791). Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности и не пересекающей ее прямой.
14.19(797). Составить уравнение гиперболы
в полярных координатах, если дано ее
каноническое уравнение
.
Таблица 14.1. Сравнительный анализ характеристик кривых второго порядка
|
Парабола |
Эллипс |
Гипербола |
1. Определение |
|
|
|
2. Каноническое уравнение |
|
|
|
3. Фокусы |
|
|
|
|
|
||
4. Фокальный параметр |
|
|
|
5. Эксцентриситет |
|
|
|
|
|
||
6. Расстояние от фокуса до директрисы |
|
|
|
7. Расстояние от начала координат до директрисы |
|
|
|
8. Основной прямоугольник |
– |
|
|
,
,
,
,
,
