2. Теоретические основы

Для восстанавливаемых систем характерно чередование периодов безотказной работы и периодов восстановлений (рис. 5.1). Длительности периодов безотказной работы и периодов восстановлений являются случайными величинами. Сам процесс эксплуатации таких систем можно рассматривать как совокупность двух процессов:

• случайного процесса отказов;

• случайного процесса восстановлений.

Рис. 5.1

И тот и другой процессы представляют собой потоки случайных событий:

1. Поток отказов с интенсивностью .

2. Поток восстановлений с интенсивностью μ.

Рассмотрим сначала свойства потока отказов. Для сложных систем, работающих в стабильных условиях эксплуатации, поток отказов является простейшим. Простейшим называется поток, удовлетворяющий одновременно трем условиям:

• ординарности;

• отсутствию последействия;

• стационарности.

Рассмотрим эти условия:

Ординарность потока отказов выражает условие практической, невозможности появления двух или более отказов за малый промежуток времени ( >0), т.е. отказы появляются поодиночке, а не группами (рис. 5.2).

Е

Рис. 5.2

сли отказы элементов независимые, то их поток обладает свойством ординарности, т.е. , где – вероятность появления двух и более отказов на интервале .

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность появления некоторого числа n отказов в течение произвольного промежутка времени не зависит от того, сколько было отказов и как часто они возникали до этого промежутка. Ординарный поток без последействия называют пуассоновским, т.к. вероятность появления некоторого числа n отказов на интервале (0, t) подчиняется закону Пуассона:

,

где – математическое ожидание числа отказов на интервале (0, t):

,

где – параметр потока отказов.

С тационарность потока отказов означает, что вероятность возникновения некоторого числа отказов n за произвольный промежуток времени (от t до t+ ) не зависит от t, а зависит только от длины интервала и величины n (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Для стационарного потока

, если = .

Надежность восстанавливаемых систем включает в себя два свойства: безотказность (свойство, связанное с потоком отказов) и ремонтопригодность (свойство, связанное с потоком восстановлений). Поэтому для оценки надежности восстанавливаемых систем используют:

1) показатели безотказности;

2) показатели ремонтопригодности;

3) комплексные показатели, учитывающие одновременно свойства безотказности и ремонтопригодности.

Рассмотрим эти виды показателей.

Показатели безотказности

В пределах любого i – го отдельного интервала безотказной работы (рис. 5.1) для восстанавливаемых систем (объектов) справедливы все показатели безотказности, рассмотренные для невосстанавливаемых систем: P(t), Q(t), f(t), (t), T_o, если считать за начальный момент времени t = 0 начало i – го интервала безотказной работы.

Кроме этих показателей безотказности, используются и дополнительные показатели безотказности, учитывающие процессы отказов и восстановлений, характерные именно для восстанавливаемых систем:

1. Параметр потока отказов

, (5.1)

где , – математическое ожидание числа отказов за время t +  t и t соответственно.

Для стационарного потока отказов является величиной постоянной, т.е. . Из (5.1) имеем:

.

Статистически параметр потока отказов равен:

, (5.2)

где – суммарное число отказов i – го испытуемого образца на интервале времени (от t до t + );

– суммарное число отказов, возникших во всех объектах на интервале времени ;

– среднее число отказов на интервале , приходящееся на один испытуемый объект:

(5.3)

Показать разницу в формулах и .

В формуле (5.2) во время испытаний отказавшие объекты мгновенно заменяются новыми или восстановленными. Поэтому в течение всего интервала t испытывается постоянное число N_o объектов, а время = 0.

2. Средняя наработка на отказ Т_ср= Т_р.ср

(5.4)

или

(5.5)

Т_ср – это среднее время безотказной работы между двумя соседними отказами (i – 1) – м и i – м восстанавливаемого объекта.

Для простейшего потока отказов (ординарного, без последействия, стационарного) и получим:

(5.6)

,

, (5.7)

где – суммарное время безотказной работы i – го образца;

– суммарное число отказов i – го образца за время испытаний.

3. Вероятность возникновения (появления) некоторого числа n отказов на интервале времени (0, t) определяется формулой закона Пуассона (для простейшего потока):

,

,

. (5.8)

При числе отказов n = 0 формула (5.8) примет вид:

и будет определять вероятность безотказной работы восстанавливаемой системы за время t.

Показатели ремонтопригодности

1. – вероятность восстановления работоспособного состояния объекта за время t. Она представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины (рис. 5.4):

, (5.9)

г

Рис. 5.4

де – время восстановления работо-способного состояния объекта.

Функция с вероятностной точки зрения идентична рассмотренной ранее функции Q(t) и имеет такие же свойства.

Статистически (по результатам испытаний) вероятность определяется по формуле:

, (5.10)

где – число объектов, восстановленных за время t;

– число объектов, поставленных на восстановление.

2. – плотность вероятности восстановления работоспособного состояния объекта (частота восстановле­ния, плотность (закон) распределения времени восстановления ). Данный показатель , являясь дифференциальной функцией распределения случайной величины , определяется через производную от интегральной функции:

, (5.11)

где μ – интенсивность восстановления работоспособного состояния объекта.

Установим связь вероятности с характеристиками и μ. Запишем уравнение (5.11) в виде и, после интегрирования обеих частей, получим:

,

. (5.12)

Вероятность является возрастающей экспонентой.

Статистическая оценка показателя :

, (5.13)

где – число объектов, восстановленных в интервале времени t.

3. μ(t) – интенсивность восстановления объекта за время t. Она определяется, как условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени t при условии, что до этого момента времени t восстановления объекта не произошло:

.

Для экспоненциального закона восстановления (5.12) характеристика μ(t) является постоянной μ(t) = μ в течении нормальной эксплуатации и ее точное значение равно:

, (1/ч) (5.14)

где – среднее время восстановления объекта.

Статистически интенсивность восстановления равна:

, (5.15)

где – число невосстановленных объектов за время t.

4. – среднее время восстановления объекта (математическое ожидание случайной величины ).

Т.к. случайная величина является непрерывной, то

. (5.16)

Приведем интеграл (5.16) к табличному виду , для чего введем следующие обозначения t = u, , , . После подстановки значений в (16), получим:

. (5.17)

В выражении (5.17) произведение при будет равно единице, так как при вероятность будет стремиться к единице быстрее, чем параметр t будет стремиться к бесконечности и . Подстановка нижнего предела t = 0 даст .

Таким образом, окончательно получим:

. (5.18)

Определим связь между характеристиками Т_в и μ.

Для этого подставим в правую часть уравнения (5.17) значение вероятности и получим:

. (5.19)

Статистическая оценка показателя :

, (5.20)

где – суммарное время, затраченное на восстановление всех возникших отказов у i – го испытуемого объекта за время t;

– суммарное время восстановления всех образцов.

Учитывая, что для восстанавливаемых систем число восстановлений равно числу отказов и каждый испытуемый объект за время испытаний может иметь несколько отказов, то характеристику (для удобства вычисления) можно определить по следующей формуле:

, (5.21)

где – суммарное число отказов, возникших у i – го объекта за время испытаний t.

В формуле (5.21) верхнее значение N_ов в знаках суммирования можно заменить числом N_о , т.е. общим числом объектов, поставленных на испытание. В этом случае для не отказавших объектов соответствующие значения и будут равны 0. Тогда статистическая оценка будет иметь вид:

. (5.22)

Выражения (5.21) и (5.22) определяют характеристику как среднее время, затрачиваемое на восстановление одного отказа в одном объекте.

Комплексные показатели

Учитывают безотказность и ремонтопригодность одновременно. Граф состояний восстанавливаемой нерезервирвированной системы представлен на рис. 5.5.

G₀ – работоспособное состояние;

G₁ – неработоспособное состояние;

λ – отказ с интенсивностью λ;

μ – восстановление с интенсивностью μ.

Рис. 5.5

1. Коэффициент готовности:

, (5.23)

где – вероятность нахождения системы в состоянии ;

– средняя наработка на отказ восстанавливаемой системы. Она численно равна средней наработке до отказа Т_о для одного интервала безотказной работы, т.е. = . Тогда ;

– характеризует среднюю относительную долю времени нахождения системы в работоспособном состоянии.

Поэтому численно определяет вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t.

Учитывая, что , а , получим:

. (5.24)

Статистически определяется:

, (5.25)

где – суммарное время безотказной работы i – го образца;

– суммарное число отказов i – го образца.

2. Коэффициент простоя:

, (5.26)

где – вероятность нахождения системы в состоянии .

– характеризует относительную долю времени нахождения системы в режиме восстановления.

численно определяет вероятность того, что объект окажется неработоспособным в произвольно выбранный момент времени t.

. (5.27)

Статистически, по аналогии с (5.25), равен:

, (5.28)

П

ричем:

, (5.29)

т.к. .

3. Коэффициент технического использования:

, (5.30)

, (5.31)

где – среднее время, затрачиваемое на проведение всех видов плановых технических обслуживаний на один объект:

;

– суммарное время, затрачиваемое на проведение всех видов ТО i – го объекта.