Дополнительные задачи к разделам 19-21.
Устные вопросы для повторения материала
1. Что такое приведенное уравнение линии?
2. Что такое характеристическое уравнение?
3. Сколько существует видов линий второго порядка?
4. Что такое распадающиеся линии?
5. Что такое центр линии второго порядка?
6. При каких преобразованиях системы координат не изменяются старшие коэффициенты в уравнении линии второго порядка?
7. Что такое инварианты линии второго порядка?
Контрольные задачи
1. Используя только параллельный перенос определить тип линии второго порядка и ее расположение относительно исходной системы координат
.
2. Определить тип линии и написать ее каноническое уравнение
.
3. При каких значениях инвариантов линия второго порядка является
а) окружностью;
б) действительным эллипсом;
в) двумя перпендикулярными прямыми.
4. Линия второго порядка определяется уравнением
.
Определить
тип линии при изменении параметра
от
до
и найти ее расположение относительно
данной системы координат.
5. Определите связь между инвариантами двух сопряженных гипербол.
Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.
1.
Случайным образом в интервале от
до
выбирается каждый из коэффициентов
уравнения линии второго порядка. С какой
относительной частотой такое уравнение
будет описывать ту или иную линию второго
порядка?
2. Исследуйте возможность получения простого уравнения для определения координат вершины параболы.
Дополнительные задачи к разделу 22.
Устные вопросы для повторения материала
1. Перечислите цилиндрические поверхности второго порядка.
2. Назовите ограниченные вещественные поверхности второго порядка.
3. Какие конические поверхности второго порядка вы знаете?
4. Каким образом из сферы можно получить эллипсоид?
5. Перечислите распадающиеся поверхности второго порядка.
6. Какие из поверхностей второго порядка не могут быть фигурами вращения?
7. Приведите пример поверхности второго порядка, которая выродилась в прямую линию, в точку.
Контрольные задачи
1. Определите координаты центра и найдите радиус сферы
.
2. Используя параллельный перенос, определите тип и местоположение поверхности второго порядка
.
3.Определите возможные пересечения кругового параболоида
и сферы
,
в
зависимости от радиуса сферы
и высоты ее центра
.
Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.
1. Изучите оптические свойства поверхностей второго порядка. Какими они будут, например, у эллиптического параболоида?
2. По аналогии с линиями второго порядка постройте алгоритм определения типа поверхности второго порядка с помощью инвариантов.
Справочный материал Свойства линейных операций над векторами
1. Коммутативность сложения (переместительное свойство)
.
2. Ассоциативность сложения (сочетательное свойство)
.
3. Существование нулевого вектора
.
4. Существование противоположных векторов.
.
5. Дистрибутивность (распределительное свойство) при умножении вектора на сумму чисел
.
6. Дистрибутивность при умножении суммы векторов на числа
.
7. Ассоциативность умножения на числа
.