Дополнительные задачи к разделам 1-5.

Устные вопросы для повторения материала

1. Почему вектор нельзя нарисовать на рисунке?

2. Зачем мы доказывали, что сумма равных направленных отрезков равны между собой?

3. Куда направлен нулевой вектор?

4. Почему два параллельных вектора всегда линейно зависимы?

5. Чему равна размерность пространства, составленного из векторов, параллельных одной плоскости?

6. Каким образом координаты вектора помогают ввести понятие координат точки?

7. Предложите свою формулировку правила правой руки для определения ориентации базиса.

Контрольные задачи

1. Дан треугольник ABC. Найти такую точку М, чтобы . Доказать, что эта точка есть точка пересечения медиан, и она делит каждую из медиан в отношении 1:2. Решите задачу с использованием радиус-векторов.

2. Дан четырехугольник ABCD. Найти такую точку М, чтобы .

3. Дан тетраэдр ABCD. Найти точку M, для которой . Найдите общее решение для этих двух задач.

4. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна . Пользуясь решением этой задачи, попробуйте подтвердить (или опровергнуть) следующие утверждения:

а) Центр масс фигуры совпадает с ее центром симметрии;

б) Центр симметрии фигуры всегда является центром масс этой фигуры.

5. Докажите основные неравенства треугольника (5.14).

Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.

1. Исследуйте вычисление скалярного произведения векторов через их координаты в непрямоугольных (аффинных) системах координат. Разберитесь с понятием ковариантных и контравариантных координат и метрического тензора.

2. Докажите, что криволинейные полярная, сферическая и цилиндрическая системы отсчета являются прямоугольными.

3. По аналогии с полярными координатами, часто пользуются и так называемыми эллиптическими координатами. В этих системах координат координатными линиями является семейство эллипсов, а не окружностей. Исследуйте такие координаты. Какой смысл имеют в этих системах координаты. Какие другие координатные линии есть в такой системе?

Дополнительные задачи к разделам 5-8.

Устные вопросы для повторения материала

1. Чем отличаются друг от друга скалярное и векторное произведение?

2. Зачем мы доказывали, что углы между равными направленными отрезками, отложенными от разных точек, равны между собой?

3. Когда равно нулю скалярное (векторное) произведение двух векторов?

4. Когда равно нулю смешанное произведение трех векторов?

5. Чему равны скалярные и векторные произведения векторов и ? Найдите угол между ними и длины каждого из них.

6. Сколькими способами вы можете вычислить определитель

.

Какой из этих способов наиболее удобный именно для этого определителя.

7. Не выписывая определителя скажите, чему равна -я проекция векторного произведения двух векторов и .

Контрольные задачи

1. Каким способом можно вычислить высоту параллелограмма, построенного на двух векторах как на сторонах?

2. Каким способом удобнее всего вычислять высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах, как на сторонах?

3. Даны два вектора a и b. Представить вектор b в виде суммы двух векторов x и y так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a, а вектор y ортогонален вектору a.

4. Даны два неколлинеарных вектора a и b. Найти вектор x, компланарный векторам a и b и удовлетворяющий системе уравнений (a, x) = , (b, x) = 0.

5. Найдите проекцию вектора на плоскость, образованную двумя неколлинеарными векторам a и b.

Темы для индивидуальных научно-исследовательских задач.

1. Доказать, что результатом скалярного произведения является скаляр.

2. Доказать, что длина вектора является скаляром.

3. Доказать, что результатом векторного произведения (полярных) векторов является (аксиальный) вектор.

4. Доказать, что результатом смешанного произведения полярных векторов является псевдоскаляр.