
1.1.4. Задачи для самостоятельного решения
1. Определить
модуль скорости материальной точки в
момент времени
с, если точка движется по закону
,
где
м/с2;
м.
2. Материальная
точка движется по закону
,
где
м;
м. Определить вектор скорости, вектор
ускорения и траекторию движения
материальной точки.
3. Радиус-вектор
частицы меняется со временем по закону
,
где
(м/с) – постоянный вектор;
(с–1)
– постоянная величина. Найти: а) скорость
и ускорение
частицы в зависимости от времени; б)
промежуток времени
,
по истечении которого частица вернется
в исходную точку, а также путь s,
который она пройдет при этом.
4. Радиус-вектор
частицы изменяется со временем по
закону:
(м). Найти: а) скорость
и ускорение
частицы; б) модуль скорости
в момент
с; в) приближенное значение пути s,
пройденного частицей за 11-ю секунду
движения.
5. Частица движется
со скоростью
.
Здесь
м/с2.
Найти: а) модуль скорости
частицы в момент времени
с;
б) ускорение частицы
и его модуль; в) путь s,
пройденный частицей с момента
с
до момента
с.
6. Ускорение
материальной точки изменяется по закону
,
где
м/с4;
м/с2.
На каком расстоянии от начала координат
она будет находиться в момент времени
с, если
,
при
?
7. Электрон движется
в некоторой системе отсчета из начального
положения, определяемого радиус-вектором
где
м,
м, с начальной скоростью
,
где
м/с и ускорением
,
где
м/с3,
м/c2.
Найти: а) положение электрона в момент
времени
с; б) скорость электрона при
с; в) угол между радиус-вектором
и вектором
скорости при
.
8. Частица движется
с ускорением
(м/с2).
Определить модуль скорости частицы в
момент
c, если в начальный момент времени
скорость была
(м/с).
9. Два пловца должны
попасть из точки А
на одном берегу реки в прямо противоположную
точку В
на другом берегу. Для этого один из них
решил переплыть реку по прямой АВ,
другой – все время держать курс
перпендикулярно течению, а расстояние,
на которое его снесет, пройти по берегу
реки со скоростью u.
При каком значении u
оба пловца достигнут точки В
за одинаковое время, если скорость
течения
км/ч, а скорость каждого пловца относительно
воды
км/ч?
10. От бакена, который
находится на середине широкой реки,
отошли две лодки А
и В.
Обе лодки стали двигаться по взаимно
перпендикулярным прямым: лодка А
– вдоль реки, а лодка В
– поперек. Удалившись на одинаковое
расстояние от бакена, лодки вернулись
затем обратно. Найти отношение времен
движения лодок
,
если скорость каждой лодки относительно
воды в
раза больше скорости течения.
11. Лодка движется относительно воды со скоростью в n = 2 раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?
12. Два частицы 1 и
2 движутся с постоянными скоростями
и
по двум взаимно перпендикулярным прямым
к точке их пересечения O.
В момент
частицы находились на расстояниях
1
и
2
от точки О.
Через сколько времени после этого
расстояние между частицами станет
наименьшим? Чему оно равно?
1
3.
Из пункта А,
находящегося на шоссе (рис. 1.1.22), необходимо
за кратчайшее время попасть на машине
в пункт В,
расположенный на поле на расстоянии
от шоссе. Известно, что скорость машины
на поле в
раз меньше ее скорости по шоссе. На каком
расстоянии от точки D
следует свернуть с шоссе?
Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды, перпендикулярной к берегам скоростью
м/с. Ширина реки
м. Скорость течения изменяется по параболическому закону
, где y – расстояние от берега,
м/с – константа. Найти снос s лодки вниз по течению от пункта ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.
15. Частица движется
в положительном направлении оси x
так, что ее скорость меняется по закону
,
где
– положительная постоянная. В момент
времени
частица находилась в точке
.
Найти зависимость от времени скорости
и ускорения частицы.
16. Точка движется,
замедляясь, по прямой с ускорением,
модуль которого зависит от ее скорости
по закону
,
где
– положительная постоянная. В начальный
момент скорость точки равна
.
Какой путь она пройдет до остановки? За
какое время этот путь будет пройден?
17. Частица движется
в плоскости ХY
с постоянным ускорением
,
направление которого противоположно
положительному направлению оси Y.
Уравнение траектории частицы имеет вид
,
где
и
– положительные постоянные. Найти
скорость частицы в начале координат.
18. Тело бросили с поверхности Земли под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время движения; б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла они будут равны друг другу? в) уравнение траектории Y(Х), где Y и Х – перемещение тела по вертикали и горизонтали соответственно.
19. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы: а) радиус кривизны в начале его траектории был в = 8,0 раз больше, чем в вершине;
б) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности?
20. Из пушки выпустили
последовательно два снаряда со скоростью
м/с: первый под углом
к горизонту, второй – под углом
(азимут один и тот же). Найти интервал
времени между снарядами, при котором
снаряды столкнутся друг с другом.
21. Воздушный шар
начинает подниматься с поверхности
земли. Скорость его подъема постоянна
и равна
.
Благодаря ветру шар приобретает
горизонтальную компоненту скорости
,
где
– постоянная, y
– высота
подъема. Найти зависимости от высоты
подъема: а) величины сноса шара
;
б) полного, тангенциального и нормального
ускорений шара.
22. Автомобиль
движется по закруглению шоссе, имеющему
радиус кривизны 50 м. Уравнение движения
автомобиля
(м). Найти скорость автомобиля, а также
его тангенциальное, нормальное и полное
ускорение в момент времени
с.
23. Человек, находящийся в комнате на пятом этаже видит, как мимо его окна пролетает сверху предмет. Расстояние 2 м, равное высоте окна, предмет пролетает за 0,1 с. Высота одного этажа 4 м. Определить, с какого этажа упал предмет.
24. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние между которыми 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на 10 см ниже, чем в первом. Определить скорость пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально.
25. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой был брошен мяч. С какой скоростью был брошен мяч? Под каким углом он подлетел к поверхности стенки?
26. Два тела брошены
одновременно из одной точки: одно –
вертикально вверх, другое – под углом
к горизонту. Начальная скорость каждого
тела 25 м/с. Пренебрегая сопротивлением
воздуха, найти расстояние между телами
через 1,7 с.
27. С какой наибольшей скоростью должен идти под дождем человек, чтобы дождь не капал на ноги, если он держит зонт на высоте 2 м и край зонта выступает вперед на 0,3 м? Капли дождя падают вертикально со скоростью 8м/с.
28. Две подводные
лодки плывут навстречу друг другу каждая
со скоростью
.
С первой лодки был послан ультразвуковой
сигнал, который отразившись от второй
лодки, вернулся обратно через время t.
Скорость сигнала
.
На каком расстоянии находились лодки
в момент, когда был послан сигнал?
29. В момент выстрела мишень падает с некоторой высоты. Под каким углом должно быть направлено ружье, чтобы пуля попала в мишень во время ее свободного падения?
30. Колесо вращается с постоянной скоростью, соответствующей 100об/мин. С некоторого момента колесо тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с2. Через какое время колесо остановится?
31. Снаряд вылетел со скоростью 320 м/с, сделав внутри ствола 2 оборота. Длина ствола 2 м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.
32. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали груз и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, груз за время t = 3 с опустился на = 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус R = 4 см.
33. Винт аэросаней вращается с частотой n = 360 мин–1. Скорость поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью u движется один из концов винта, если радиус винта R = 1 м?
34. На токарном станке протачивается вал диаметром d = 60 мм. Продольная подача резца = 0,5 мм за один оборот. Какова скорость резания, если за интервал времени t = 1 мин протачивается участок вала длиной =12см?
35. Тело вращается
вокруг неподвижной оси Z
так, что угол его поворота меняется в
зависимости от времени по закону
,
где a
и b
– положительные постоянные. Найти
момент времени ,
через которое тело останавливается, а
также число оборотов тела N
до остановки.
36. Твердое тело
вращается вокруг оси Z.
Зависимость угла его поворота от времени
t
описывается законом
,
где a
и b
– положительные постоянные. Найти
проекции угловой скорости z
и углового ускорения
z
на ось Z.
Построить графики зависимостей z(t)
и z(t).
Описать качественно характер движения.
37. Твердое тело
вращается с угловой скоростью
,
где
рад/с2;
рад/с3;
– орты осей Х
и Y.
Найти модули угловой скорости и углового
ускорения в момент
с.
38. Точка А
находится на ободе колеса радиусом R
= 0,5 м, которое
катится без скольжения по горизонтальной
поверхности со скоростью
м/с. Найти модуль и направление ускорения
точки А.
Рис. 1.1.23
см/с2.
Через t
= 2 с после начала движения
его положение соответствует рис.
1.1.23. Найти: а) скорости точек А
и В в системе
отсчета, связанной с Землей; б) ускорения
точек А и
О.
40. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус цилиндра r. Найти радиусы кривизны траекторий точек А и В (рис. 1.1.23).
Четные номера – Д/З, нечетные - РГР