Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в 2, 8, 16 - ю сс.

Для того чтобы перевести правильную десятичную дробь в любую систему используем умножение на основание системы.

Правила перевода

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2, 8, 16) до тех пор пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

2. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности. От первого к последнему.

10  2 Точность вычисления: Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*2 = (0),5 0,5*2 = (1),0 Ответ: 0,2510=0,012

0,7510*2 = (1),5 0,5*2 = (1),0 Ответ: 0,7510 = 0,112

0,69610 *2 = (1),392 0,392*2 = (0),784 0,784 * 2=(1),568 Ответ: 0,69610=0,1012

10  8 Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*8 = (2),0 Ответ: 0,2510=0,28

0,7510 * 8 = (6),0 Ответ: 0,7510 = 0,68

0,69610 * 8 = (5),568 0,568 * 8 = (4),544 0,544*8 = (4), 352 Ответ: 0,69610 = 0,5448

10  16 Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*16 = (4),0 Ответ: 0,2510 = 0,416

0,7510*16 = (12),0 Ответ: 0,7510 = 0,С16

0,69610 * 16 = (11),136 0,136 * 16 = (2),17 6  0,176 * 16 = (2),816 Ответ: 0,69610 =0,B22

Самостоятельно: 0,125₁₀ = 0,001₂ = 0,1₈ = 0,2₁₆

Перевод десятичных чисел с целой и дробной частями

Перевод производиться в два этапа.

1. Сначала переводится целая часть;

2. Потом переводится дробная часть.

Переведем число 12,05₁₀ в двоичную систему

12|2 1100 12|6|2 0 6|3|2 0 2|1 1	0,05*2 = (0),1 0,000011 0,1*2 = (0),2 0,2*2 = (0),4 0,4*2 = (0),8 0,8* = (1),6 0,6*2 = (1),2
Ответ: 12,0510 = 1100,000011

Проверка: 1100,000011 = 1³1²0¹0⁰,0^-10^-20^-30^-41^-51^-6 = 2³+2²+2^-5+2^-6 =4+8+0,03125+0,015625 = 12,05

Переведем число 25,5₁₀ в двоичную систему

25|2 11001 24|12|2 1 12|6|2 0 6|3|2 0 2|1 1	0,5*2 = (1),0 0,1
Ответ: 25,510 = 11001,1

Проверка: 11001,1 = 1⁴1³0²0¹1⁰,1^-1 = 2¹+2³+2⁰+2^-1 = 16+8+1+0,5 = 25,5

Двоичная арифметика

Все операции над числами в 2-ой СС, точно также как и в 10-ой, проводятся поразрядно.

Изначально рассмотрим пример простого десятичного сложения.

+589 248 837	Суммируем единицы 9+8=17. Разряд единиц переполнен, поэтому 7 оставляем в разряде единиц и переносим в разряд десятков 1, затем суммируем десятки – 8+4+1 = 13 десятков, 3 оставляем в разряде десятков, а 1 вновь переносим теперь уже в разряд сотен и т.д. 5+2+1=8.
Двоичное сложение Таким же образом при сложении чисел двоичной системы, при переполнении разряда мы переносим в старший разряд 1.
+ 0 1 0 0 1 1 1 10 Основные правила сложения двоичной системы:				+ 011010 10111 110001	+ 11111 10110 100101
Двоичное умножение Основные правила умножения * 0 1 0 0 0 1 0 1			*101 11 101 101 1111	*011010 0110 000000 011010 011010 000000 010011100
Основные правила вычитания двоичной системы: 0-0=0; 1-1=0; 1-0 = 1; 10-01=01
Вычитание аналогично десятичной системе. Если в уменьшаемом числе цифра разряда меньше чем цифра разряда вычитаемого, необходимо делать заем (занимать) единички из старшего разряда.
11 11 -11001 1111 1010	11 11 11 - 1010011 11001 0111010	Единичка из второго разряда равна 11 из первого разряда, так как 1+1=10

Преимущества 2-ой СС с технической точки зрения организации работы ПК бесспорны. Однако может возникнуть вопрос о том, зачем нужны другие СС. Чтобы ответить на него возьмем любое десятичное число и переведем его в другие СС с основаниями кратными двойке:

255₁₀ = 11111111₂ = 3333₄ = 377₈ = FF₁₆

Хорошо видно, что чем меньше основание СС, тем больше разрядов требуется для его записи, т.е. тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с 2-ой и 10-ой СС, в вычислительной технике применяют также запись чисел в 8-ой и 16-ой СС. Поскольку их основания кратны двойке, то они органично связаны с 2-ой СС и преобразуются в эту СС наиболее быстро и просто (по сути, они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие СС-я представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.

Естественно, при работе с ПК Вам предстоит встретиться не только с 2-ой и 10-ой СС, но и с 8-ой и 16-ой. Поэтому необходимо знать, как осуществляется перевод числа из 2-ой СС в 8-ю и 16-ю СС.