Десятичная сс.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в нем 3 раза, причем первая с права означает 5 единиц, вторая – 5 десятков и третья 5 сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Разряд – позиция цифры в числе. Разряд числа возрастает справа налево от младших разрядов к старшим.

В СС₁₀ существует две формы представления числа:

1. Свернутая форма числа – 555.

2. Развернутая форма, где каждой цифре числа присваивается разряд с права на лево.

Развернутое число в позиционной системе записывается в виде суммы числового ряда степеней основания.

Развернутая форма. – 555 = 5*10² + 5*10¹ + 5*10⁰

Развернутую форму числа можно применить к любой СС.

Если число будет содержать дробную часть, то развернутая форма будет выглядеть следующим образом:

55,55 = 5*10¹+5*10⁰+5*10 ^-1+5*10 ^–2

Проверка (50 + 5 + 0,5+ 0,05 = 55,55)

В общем случае запись любого 10-го числа А₁₀ выглядит так:

А₁₀ = а _{n -1} * 10 ^{n -1} + … + а₀ * 10⁰ + а _-1 * 10 ^-1 + … + а _m * 10 ^{- m}

Двоичная СС.

101 = 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰

А₂ = а _{n -1} * 2^{n -1} + … + а₀ * 2⁰ + а _-1 * 2 ^-1 + … + а _m * 2 ^{- m}

Позиционная СС с произвольным основанием

А_q = а _{n -1} * q ^{n -1} + … + а₀ * q⁰ + а _-1 * q ^-1 + … + а _m * q ^{- m}

Перевод числа из СС₂, СС₈ и СС₁₆ в СС₁₀.

Разряд числа возрастает справа на лево

Из 2 >10:

1011₂ = 1³0²1¹1⁰₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=8+0+2+1=11₁₀

1111001₂ = 1⁶1⁵1⁴1³0²0¹1⁰₂ = 1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ = 64+32+16+8+0+1 = 121₁₀

0001001₂ = 0⁶0⁵0⁴1³0²0¹1⁰₂ = 0*2⁶ + 0*2⁵ +0*2⁴ +1*2³ +0*2² +0*2¹ +1*2⁰ = 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1= 9₁₀

Из 8 >10:

245₈ = 2²4¹5⁰₈ =2*8²+4*8¹+5*8⁰=128+32+5=165₁₀

555₈ = 5²5¹5⁰₈ =5*8²+5*8¹+5*8⁰ = 320+40+5=365₁₀

1024₈ = 1³0²2¹4⁰₈ = 1*8³+0*8²+2*8¹+4*8⁰ = 512+0+16+4=532₁₀

Из 16 >10:

9АВ₁₆= 9²10¹11⁰= 9*16²+10+16¹+11*16⁰=2304+160+11=2475₁₀

1A₁₆ = 1¹10⁰ = 1*16¹+10*16⁰ = 16+10=26₁₀

BF₁₆ = 11¹15⁰ = 11*16¹ + 15*16⁰ = 176 + 15 = 191₁₀

Перевод числа из сс10 в сс8, сс16 и сс2.

Целое десятичное число переводится в любую СС делением на основание СС в которую переводится число до тех пор, пока не получиться частное меньшее делителя, то есть меньше 2. Результат составляется из остатков от деления, записанных с права на лево.

Из 10 > 2

1) 5 2) 250 3) 1024

5|2 4|2|2 1 2|1 0 Ответ: с права на лево 1012

250|2 250|125|2 0 124|62|2 1 62|31|2 0 30|15|2 1 14|7|2 1 6|3|2 1 2|1 1 Ответ: с права на лево 111110102

1024|2 1024|512|2 0 512|256|2 0 256|128|2 0 128|64|2 0 64|32|2 0 32|16|2 0 16|8|2 8|4|2 0 4|2|2 0 2|1 0 Ответ: 100000000002

Из 10 > 8

1) 5 2) 250 3) 1024

5|8 5 Ответ: с права на лево 58

250|8 248|31|8 2 24|3 7 Ответ: с права на лево 3728

1024|8 1024|128|8 0 128|16|8 0 16|2 0 Ответ: 20008

Из 10 > 16

1) 5 2) 250 3) 1024

5|16 5 Ответ: с права на лево 516

250|16 240|15|16 10 Ответ: с права на лево FA16

1024|16 1024|64|16 0 64|4 0 Ответ: 40016