Задания для самостоятельной работы

Найти интегралы методом непосредственного интегрирования:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9)

Найти интегралы способом подстановки:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

Найдите интегралы при помощи интегрирования по частям:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?

4. Перечислите основные формулы интегрирования.

5. Какие методы интегрирования вы знаете? В чем заключается их сущность?

Практическое занятие №14 Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления определенного интеграла при помощи формулы Ньютона – Лейбница

На выполнение работы отводится 2 часа

Требования к выполнению работы:

1. Ответить на теоретические вопросы.

2. Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Функция, интегрируемая на промежутке , если при любых разбиениях промежутка , таких, что при произвольном выборе точек (где ), сумма при стремится к пределу .

Предел называют определенным интегралом от функции на промежутке и обозначают , то есть .

Число называется нижним пределом интеграла, - верхним. Промежуток называется промежутком интегрирования, - переменной интегрирования.

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона – Лейбница: . То есть определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Примеры

Вычислить следующие определенные интегралы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение: 1) ;

2) ;

3) .

Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенные интегралы:

1. ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ;

12) ; 13) ; 14) ;

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке?

2. Дайте определение определенного интеграла.

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

4. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

Практическое занятие №15 Тема: Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов

Цель: Формирование навыков вычисления площадей фигур с помощью определенных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических фигур и физических величин.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и , где , (рис. 1).

Т ак как дифференциал переменной площади есть площадь прямоугольника с основанием и высотой , то есть , то, интегрируя это равенство в пределах от до , получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси так, что , (рис. 2), то дифференциал переменной площади равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью и прямыми и , лежит под осью (рис.3), площадь находится по формуле .

Е сли фигура, ограниченная кривой , осью и прямыми и , расположена по обе стороны от оси

x

(рис. 4), то .

Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и , и прямыми и , где и (рис. 5). Тогда ее площадь находится по формуле .