МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСТАНСКО-НЕМЕЦКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет экономических наук

Дисциплина: Математика в экономике

Утверждено

на заседании факультета ФЭН

от 1 февраля 2013 г. (протокол № 6)

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению СРС

по теме «Комбинаторика»

для специальностей: 5В050900 – Финансы

5В051100 – Маркетинг

5В050700 – Менеджмент

Составитель: к.ф.-м.н. Кораблин А.Ю.

Алматы, 2013г.

Содержание

стр.

Указания……………………………………………………………………………...3

Комбинаторика. Предварительные сведения……………………………………...4

1. Перестановки……………………………………………………………………...6

2. Размещения………………………..........................................................................6

3. Сочетания……………………………………………………………………….....6

Решение типовых задач……………………………………………………………...8

Задачи для самостоятельного решения……………………………………….......11

УКАЗАНИЯ

Каждый студент самостоятельно должен решить дополнительные задачи по теме «Комбинаторика» в рамках изучения дисциплины «Математика в экономике». Для этого необходимо:

прочитать и разобрать следующие теоретические вопросы:

 перестановки

 размещения

 сочетания

При изучении перечисленных вопросов можно использовать, кроме данных методических рекомендаций, также любой учебник по математике, содержащий тему «Комбинаторика».

Задание на СРС включает дополнительные задачи №1-23 на стр. 11.

С целью самоконтроля к задачам приводятся ответы.

Задание на СРС выдается на занятии №21 (второй семестр).

Контроль СРС состоится на занятии №23 по расписанию занятий.

Контроль включает проверку решений указанных задач.

Оценка контроля СРС составляет максимально 2 балла.

Выполнение СРС является одним из условий допуска студента к экзамену по математике.

При выполнении СРС при необходимости можно получить консультацию у преподавателя по текущим вопросам в установленное время.

КОМБИНАТОРИКА

«Число, место и комбинация – три взаимно

перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления,

к которым можно отнести все математические идеи»

Дж. Сильвестр¹

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными. В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке.

В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

К комбинаторным головоломкам относится и знаменитый кубик Рубика, и игры типа «Игра 15», а также головоломки с перестановкой шашек, «Ханойская башня» и др.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буддийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света.

Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле 2ⁿ-1, где n – число дисков. Предположим, что жрецы

работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится 264-1 с, или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности, например конструктору, разрабатывающему новую модель механизма, ученому-агроному, планирующему распределение сельскохозяйственных культур на нескольких полях, химику, изучающему строение органических молекул, имеющих данный атомный состав.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди столкнулись в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел (т.е. чисел, которые с помощью камешков можно представить в виде правильной фигуры), изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата, и т.д.

Комбинаторные задачи возникали и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. (Например, задача о расстановке восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, об обходе всех полей доски шахматным конем и т.д.)

Комбинаторика становится наукой лишь в XVII в. – в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в XVI в. итальянскими учеными Дж. Кардано, Н. Тартальей и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 г. работу «Об искусстве комбинаторики», в которой впервые появляется сам термин «комбинаторный». Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д.

По мере развития комбинаторики выяснилось, что, несмотря на внешнее различие изучаемых ею вопросов, многие из них имеют одно и то же математическое содержание и сводятся к задачам о конечных множествах и их подмножествах. Постепенно выявилось несколько основных типов задач, к которым сводится большинство комбинаторных проблем.

Итак, комбинаторика занимается различного рода соединениями, которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina – сочетать, соединять.

Различают три основных вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.