Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
СРС №7. Аналитическая геометрия (метод. рекомен...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
708.61 Кб
Скачать

2. Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые на плоскости могут быть параллельны или пересекаться (под прямым или произвольным углом).

  1. Условие параллельности двух прямых

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:

l1 : A1x+B1y+C1=0

l2 : A2x+B2y+C2=0

Если прямые l1 и l2 параллельны, то их нормальные векторы (A1, B1) и (A2, B2)

коллинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем условие параллельности прямых:

l1  l2 =

т.е. коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны.

Замечание: Прямые l1 и l2 совпадают  = = .

Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l1 : у=k1x+b1

l2 : у=k2x+b2

Если прямые l1 и l2 параллельны, то они образуют одинаковые углы с осью Ох. В этом случае условие параллельности прямых имеет вид:

l1  l2  k1=k2

т.е. угловые коэффициенты равны.

Замечание: Прямые l1 и l2 совпадают  k1=k2, b1=b2 .

  1. Условие перпендикулярности двух прямых

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:

l1 : A1x+B1y+C1=0

l2 : A2x+B2y+C2=0

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то их нормальные векторы (A1, B1) и (A2, B2) ортогональны. Используя условие ортогональности векторов, получаем условие перпендикулярности прямых:

l1l2  A1A2+B1B2=0

т.е. сумма произведений коэффициентов при соответствующих переменных равна 0.

Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l1 : у=k1x+b1

l2 : у=k2x+b2

Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то они образуют с осью Ох углы, отличающиеся на 90.

Пусть k1=tg. Тогда k2=tg(+/2).

Используем тригонометрические преобразования:

tg(+/2)=-ctg=-1/tg

Окончательно имеем:

k2=-1/k1 или, наоборот, k1=-1/k2

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых:

l1l2  k1=-

т.е. угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

  1. Точка пересечения двух прямых

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:

l1 : A1x+B1y+C1=0

l2 : A2x+B2y+C2=0

Точка пересечения лежит на обеих прямых. Поэтому ее координаты удовлетворяют одновременно обоим уравнениям. Для определения координат необходимо составить из уравнений прямых систему уравнений и решить ее:

 A1x+B1y+C1=0

 A2x+B2y+C2=0

Таким образом, координаты точки пересечения прямых находятся путем совместного решения уравнений этих прямых.

Аналогично, если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l1 : у=k1x+b1

l2 : у=k2x+b2

координаты точки их пересечения определяются из системы уравнений:

 у=k1x+b1

 у=k2x+b2

  1. Угол между двумя прямыми

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:

l1 : A1x+B1y+C1=0

l2 : A2x+B2y+C2=0

Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами (A1, B1) и (A2, B2):

cos =

Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:

l1 : у=k1x+b1

l2 : у=k2x+b2

В этом случае угол между прямыми удобно выразить через тригонометрическую функцию тангенс:

tg=tg(-)= =

Таким образом,

tg =

Замечание: Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правых частях этих формул взяты по модулю.