
2. Взаимное расположение прямых на плоскости
Две прямые на плоскости могут быть параллельны или пересекаться (под прямым или произвольным углом).
Условие параллельности двух прямых
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:
l1 : A1x+B1y+C1=0
l2 : A2x+B2y+C2=0
Если
прямые l1 и l2
параллельны, то их нормальные векторы
(A1,
B1) и
(A2,
B2)
коллинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем условие параллельности прямых:
-
l1 l2
=
т.е. коэффициенты при соответствующих переменных пропорциональны.
Замечание:
Прямые l1 и l2
совпадают
=
=
.
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
l1 : у=k1x+b1
l2 : у=k2x+b2
Если прямые l1 и l2 параллельны, то они образуют одинаковые углы с осью Ох. В этом случае условие параллельности прямых имеет вид:
-
l1 l2 k1=k2
т.е. угловые коэффициенты равны.
Замечание: Прямые l1 и l2 совпадают k1=k2, b1=b2 .
Условие перпендикулярности двух прямых
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:
l1 : A1x+B1y+C1=0
l2 : A2x+B2y+C2=0
Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то их нормальные векторы (A1, B1) и (A2, B2) ортогональны. Используя условие ортогональности векторов, получаем условие перпендикулярности прямых:
-
l1 l2 A1A2+B1B2=0
т.е. сумма произведений коэффициентов при соответствующих переменных равна 0.
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
l1 : у=k1x+b1
l2 : у=k2x+b2
Если прямые l1 и l2 перпендикулярны, то они образуют с осью Ох углы, отличающиеся на 90.
Пусть k1=tg. Тогда k2=tg(+/2). Используем тригонометрические преобразования: tg(+/2)=-ctg=-1/tg Окончательно имеем: |
|
k2=-1/k1 или, наоборот, k1=-1/k2
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых:
-
l1 l2 k1=-
т.е. угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Точка пересечения двух прямых
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:
l1 : A1x+B1y+C1=0
l2 : A2x+B2y+C2=0
Точка пересечения лежит на обеих прямых. Поэтому ее координаты удовлетворяют одновременно обоим уравнениям. Для определения координат необходимо составить из уравнений прямых систему уравнений и решить ее:
-
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
Таким образом, координаты точки пересечения прямых находятся путем совместного решения уравнений этих прямых.
Аналогично, если прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
l1 : у=k1x+b1
l2 : у=k2x+b2
координаты точки их пересечения определяются из системы уравнений:
-
у=k1x+b1
у=k2x+b2
Угол между двумя прямыми
Пусть прямые l1 и l2 заданы своими общими уравнениями:
l1 : A1x+B1y+C1=0 l2 : A2x+B2y+C2=0 |
|
Угол между прямыми равен углу между их нормальными векторами (A1, B1) и (A2, B2):
-
cos =
Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами:
l1 : у=k1x+b1
l2 : у=k2x+b2
В этом случае угол между прямыми удобно выразить через тригонометрическую функцию тангенс: tg=tg(-)= |
|
Таким образом,
-
tg =
Замечание: Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правых частях этих формул взяты по модулю.