Глава IV

МАТЕМАТИКА В СИСТЕМЕ НАУК

1. Принцип дихотомии знания.

2. Математика как язык науки.

3. Математическая методология.

4. Математика – источник представлений и концепций в естествознании.

1. Принцип дихотомии знания

Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда основанием деления берется не вариация какого-либо свойства, а его наличие или отсутствие, например «белый» – «не-белый», то есть белый и все остальные цвета.

Речь идет о фактуальном и формальном видах знания. Факту-альное знание несет сведения о мире и характеризуется тем, что поддается эмпирической проверке (верификации) на истинность. Формальное же знание есть знание собственной структуры, структуры своего языка. Оно фиксировано в системах, представляющих неинтегрированное содержательно исчисление, выражения которого (формулы) задаются посредством принятия исходных формул и правил вывода (преобразования) из исходных формул всех остальных, допустимых в данной системе. Это математика и логика. Здесь истинность определяется не соответствием высказывания некоторому эмпирическому состоянию дел, а соответствием элементов, частей и т.п. знаковой системы друг другу.

55

Желание разделять фактуальное и формальное знания отмечено традицией. Г. Лейбниц говорил соответственно об истинах факта и истинах разума. Д. Юм – о положении вещей и отношении идей. И. Кант впервые перевел обсуждаемую проблему в языковой план, предложив виды синтетических и аналитических суждений. Дальнейший импульс теме придал позитивизм, развив идею синтетических суждений как эмпирических предложений наблюдения, противопоставив их суждениям на основе конвенции по правилам языка. Окончательно устанавливаются два аспекта знаковых отношений – семантика и синтаксис. В современной логико-методологической литературе используются термины «синтетический» и «аналитический», которые и обозначают соответственно фактуальное и формальное знания, поскольку проблема переведена в чисто языковую плоскость. Синтетичность выражает апелляцию к внеязыковой реальности, применительно к математике это ее «внешний» язык. Аналитичность проявляется как внимание к внутренним вопросам знаковых систем, к правилам, регулирующим операции со знаками, то есть как обращение к синтаксису языка, составляющему область внутриматематических проблем, исключая решение проблем отношения математических объектов к тому, что они отражают (и отражают ли вообще что-либо) во внешнем мире.

Будучи регионом формального знания, математика соответственно определяет и свой подход к истине как внутренней самосогласованности (когеренции) компонентов языка. Возьмем выражение «5+7= 12». Оно истинно. Но не потому, что мы выделили 5 предметов, прибавили к ним еще 7 предметов и получили 12, а благодаря структуре этого выражения, где левая часть равенства тождественна правой.

Аналогично и в логике. Возьмем высказывание «Сейчас на дворе дождь идет, либо он не идет». Это предложение истинно независимо от того, какая сейчас погода и в этом смысле оно не содержит информации о мире. Получив подобное сообщение, я не узнаю, как мне поступить: надеть ли плащ, взять зонтик или можно обойтись без них. Здесь, как и в математике, истина обусловлена структурой знания, в частности, в нашем случае – законом исключенного третьего a v ā, где а – произвольное утверждение, ā – его отрицание, а v – знак строгой дизъюнкции, разделительного «или».

56

Высказывания формального вида не верифицируемы, чем они и отличаются от фактуального знания. Однако утверждая, что формальное знание не несет информации о мире, следует отметить одно обстоятельство.

Логические и математические структуры знания, оцениваемые как истинностные, являются таковыми с точки зрения законов нашего мира. Но не исключены другие миры, где действуют иные законы и имеют место иные структурные построения, задающие необычные для нашего мира истины. Опыт неэвклидовых пространств, теории относительности, квантовой механики показал, что указанная ситуация возможна; во всяком случае, подобные структуры с необычными истинностными параметрами логически допустимы. Из этого следует, что и формальное знание обладает информацией о мире, хотя в настоящее время оно не характеризуется разнообразием в качестве критерия (одного из критериев) информативности сообщения.

В связи с этим примечательна оценка Л. Витгенштейном логических тавтологий (от греч. tauto – то же самое, logos – слово). Это выражения, которые повторяют ранее выказанное, но в иной словесной форме или повторение в предикате того, что было выражено в субъекте. В математической логике тавтология – это тождественно-истинное высказывание. Поскольку приписывание предиката субъекту не прибавляет ничего нового, тавтология и не способна нести информацию о мире. Однако вот как характеризует ее, по мнению В. Суровцева, Витгенштейн: «Тавтологии не говорят ничего, но они нам показывают свойства универсума в целом, задавая все возможные упорядоченные связи знаков, которые появляются в единстве условий истинности описания мира»¹.Таким образом, будучи структурами формального знания, тавтологии вместе с тем выступают в качестве форм информативного содержания.

Особенность формального знания предопределяет и характер его организации в системы. Они строятся, можно сказать, «сверху», вне какого-либо согласования с эмпирией, а путем задания исходных знаков и правил, согласно которым образуются их сочетания в высказывания (формулы), допустимые на языке данной теоретической системы. В силу отмеченного формальная теория понимается как совокупность высказываний, замкнутых относительно выводи-

_______________

¹ Суровцев В.А. Витгенштейн Л.: Заметки, продиктованные Муру// Вестн. Том. ун-та. 1999. № 267. Апр. С. 23.

57

мости, то есть очерченных границами, определяемыми типом структур, разрешимых теоретической сеткой. В пределах последней возможны лишь такие формулы, которые получены в качестве следствий из ее исходных структур.

Рассмотренные структурные особенности формальных теорий составляют круг проблем «внутреннего» языка математики, его синтаксиса, то есть отношения знака к знаку. Вместе с тем у любой теории есть, как мы уже отмечали, «внешние» проблемы – ее отношение к реальности. И хотя математик, решая «внутренние» вопросы, должен отвлечься от внешнего мира, он не может не испытывать определенного воздействия этого мира, идущие по линии запросов естествознания, производства, экономических тем, задач прогнозирования. Откликаясь на них, он переводит «внешние» задания на свой «внутренний» язык и строит исследования как нечто замкнутое в себе, как работу со знаками по правилам математических исчислений.

Поэтому отдельный ученый и целые разделы математики могут никак не проявлять заинтересованности в немедленном обслуживании внешних нужд. Однако математика в целом, математика как раздел человеческой деятельности, безусловно, этот интерес сохраняет, ибо в нем ее рациональное оправдание. Более того, часто и в случае отдельных математических теорий и теоретиков дело обстоит так, что, получив результат, автор тут же пытается найти ему объяснение на области реальных отношений.

Так математика переходит от одного языка к другому: от «вещного» – к внутриматематическому. Затем, усовершенствовав последний, снова обращается ук внешнему миру, поверяя в нем полученные построения. Математика совершенствует свой аппарат, методы не ради только себя самой, но и чтобы удовлетворить запросы общества. Она шлифует «внутренний» язык, чтобы увереннее выходить во внешнее пространство. Внутренняя жизнь, так сказать, контролируется извне. Поэтому, как образно пишет Г.Штейгауз, при появлении нового раздела математики стиль обычно бывает классическим, когда же он обретает симптомы перерождения в вычурный язык барокко, это следует расценивать как сигнал опасности. И единственный способ исцеления состоит в том, чтобы возвратиться к источнику, то есть впрыснуть более или менее эмпирическую идею.

58