14.4. Пример выполнения и оформления задания

Пусть даны доходности и ковариационная матрица индексов

Индекс	Ожидаемая доходность	Среднее квадратическое Отклонение
NASDAQ BANK	0.117	0.176
NASDAQ INDUSTRIAL	0.181	0.277
NASDAQ TELECOMMUNICATIONS	0.273	0.534
NASDAQ COMPOSITE	0.172	0.358

Замечание. Доходность и дисперсию четвертого индекса будем использовать как заданные уровни доходности и риска.

Ковариационная матрица доходностей имеет вид:

	bank	industrial	telecomm
bank	0.031	-0.007	-0.007
industrial	-0.007	0.077	0.125
telecomm	-0.007	0.125	0.285

14.4.1. Задача минимизации риска портфеля при заданном уровне доходности

1.1. Задача отыскания портфеля из трех ценных бумаг с минимальным риском будет иметь вид

или в векторно-матричной форме

1.2. Для использования пакета Поиск решения надо ввести данные в соответствующие ячейки, например, как показано ниже

матрица		bank	industrial	telecomm
ковариации	bank	0.031	-0.007	-0.007
	industrial	-0.007	0.077	0.125
	telecomm	-0.007	0.125	0.285
доходности	0.117	0.181	0.273	0.172
				Минимум риска портфеля
ячейки	0	B8	B9
переменных	0
задачи	0
	вычисление значения целевой функции
	М УМНОЖ(B7:D7,C2:E4)
	ячейка целевой функции
	М УМНОЖ(B12:D12,B7:B9)
	я чейка ограничений на доходность
	E5-МУМНОЖ(B5:D5,B7:B9)
	ограничение на доли ценных бумаг
	СУММ(B7:B9)-1
	доходность портфеля
	МУМНОЖ(B5:D5,B7:B9)
	среднеквадратическое отклонение портфеля
	КОРЕНЬ(B14)
NASDAQ COMPOSITE	0.172	0.358	0.128

Теперь следует войти в меню Сервис, вызвать Поиск решения и ввести ячейки переменных и целевой функции в соответствующие поля. Также необходимо ввести ограничения задачи. Для этого около поля ограничений следует нажать кнопку «добавить». При этом откроется новое окно, где слева вводятся ячейки ограничений, а справа значения этих ограничений. Для введения каждого ограничения следует нажимать кнопку «добавить». После введения всех ограничений следует нажать кнопку «OK».

Замечание. Не забудьте ввести ограничения на неотрицательность переменных задачи.

Мы возвратились в предыдущее меню, где следует нажать кнопку «выполнить». После чего получаем решение задачи.

матрица		bank	industrial	telecomm
ковариации	bank	0.031	-0.007	-0.007
	industrial	-0.007	0.077	0.125
	telecomm	-0.007	0.125	0.285
доходности	0.117	0.181	0.273	0.172
				минимум риска портфеля
ячейки	0.489271	0.268192	0.242537
переменных	0.268192
задачи	0.242537
	вычисление значения целевой функции
	0.011592	0.047543	0.099222
	ячейка целевой функции
	0.042487
	я чейка ограничений на доходность
	4.69E-11
	ограничение на доли ценных бумаг
	0
	доходность портфеля
	0.172
	среднеквадратическое отклонение
	0.206125
NASDAQ COMPOSITE	0.172	0.358	0.128

Таким образом, доли ценных бумаг, входящих в портфель, распределяются следующим образом

Индекс	Доля в портфеле
NASDAQ BANK	0,489
NASDAQ INDUSTRIAL	0,268
NASDAQ TELECOMMUNICATIONS	0,243

Доходность портфеля 0, 172; дисперсия 0,042; среднее квадратическое отклонение 0,206. Таким образом, портфель имеет доходность как у индекса NASDAQ COMPOSITE, но нам удалось снизить риск.

1.3. Функция Лагранжа для отыскания оптимального решения будет иметь вид

1.4. Система уравнений для отыскания оптимального решения будет иметь вид

или в векторном виде

Эту систему также можно решить с помощью процедуры Поиск решения, сведя ее к следующей задаче линейного программирования с дополнительными условиями на переменные:

Здесь - искусственные переменные, - дополнительная переменная.

1.5. Применив поиск решения, получим следующие результаты:

матрица		bank	industrial	telecomm
ковариации	bank	0.031	-0.007	-0.007
	industrial	-0.007	0.077	0.125
	telecomm	-0.007	0.125	0.285
доходности	0.117	0.181	0.273	0.172
ячейки				минимум
переменных				риска
	0.4892713			портфеля
	0.2681922
	0.2425365
	0
	0
	0
	1.1234581
	0.10826
	0
	0
	0
	0
	0
	ячейка целевой функции
	0
	линейные уравнения
	-3.39E-14
	-1.47E-13
	-4.1E-13
	условия на переменные
	0
	0
	0
	0
	ограничение на доли
	0
	ограничения на дох
	5.398E-14
	доходность портфеля
	0.172
	вычисление дисперсии портфеля
	0.4892713	0.2682	0.2425
	0.0115923	0.0475	0.0992
	дисперсия портфеля
	0.0424874
	ско
	0.2061247

1.6.. Таким образом, результаты решения задачи двумя способами совпадают.