Дисперсию доходности портфеля можно вычислить по формулам

.

Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из ценных бумаг так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Таким образом, рассмотрим две задачи оптимизации портфеля: задача минимизации риска при заданном уровне доходности (модель Марковица) и задача максимизации доходности при заданном уровне риска (модель Тобина).

14.2.2. Задача минимизации риска портфеля при заданном уровне доходности

Эта задача представляет собой задачу выпуклого программирования с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.

,

где r – заданный минимум доходности.

Введем обозначения

,

Тогда задача примет вид

Эта задача удовлетворяет условиям критерия глобального минимума выпуклой функции и теоремы Куна – Таккера. Градиентный подход, используемый в теореме 14.4, применяется в приближенных методах нахождения экстремума. Один из приближенных методов нахождения экстремума реализован в пакете Поиск решения в Excel. Решение задачи с помощью этого пакета рассмотрим далее на конкретном примере. Здесь же для поиска оптимального решения воспользуемся теоремой Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа

По теореме Куна-Таккера для нахождения оптимального решения задачи необходимо и достаточно решить систему уравнений:

Или в матрично-векторном виде

Методы решения данной системы уравнений также рассмотрим на конкретном примере.

14.2.3. Задача максимизации доходности портфеля при заданном уровне риска

Эта задача представляет собой задачу выпуклого программирования с линейной целевой функцией и квадратичными ограничениями.

где – заданный максимум риска,

Введем обозначения

Тогда задача примет вид

Эта задача также удовлетворяет условиям критерия глобального минимума выпуклой функции и теоремы Куна – Таккера. Для поиска оптимального решения воспользуемся теоремой Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа

По теореме Куна-Таккера для нахождения оптимального решения задачи необходимо и достаточно решить систему уравнений:

Или в матрично-векторном виде

Методы решения данной системы уравнений также рассмотрим на конкретном примере.

14.3. Варианты заданий

Даны доходности и ковариационная матрица доходностей ценных бумаг (табл.15.1).

1. Составить из этих ценных бумаг портфель с минимальным риском и заданным уровнем доходности.

1. . Составить задачу выпуклого программирования с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.

2. . Решить задачу выпуклого программирования с помощью пакета Поиск решения в Excel.

3. . Составить функцию Лагранжа для определения оптимального решения с помощью теоремы Куна –Таккера.

4. . Составить систему уравнений для определения оптимального решения с помощью теоремы Куна-Таккера.

5. . Решить систему уравнений с помощью пакета Поиск решения в Excel.

6. . Сравнить полученные результаты.

2. Составить из данных ценных бумаг портфель с максимальной доходностью и заданным уровнем риска.

2.1. Составить задачу выпуклого программирования с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями.

2.2. Решить задачу выпуклого программирования с помощью пакета Поиск решения в Excel.

2.3. Составить функцию Лагранжа для определения оптимального решения с помощью теоремы Куна –Таккера.

2.4. Составить систему уравнений для определения оптимального решения с помощью теоремы Куна-Таккера.

2.5. Решить систему уравнений с помощью пакета Поиск решения в Excel.

2.6. Сравнить полученные результаты.

Таблица 14.1

1 вариант				2 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс				Доход-ность
NASDAQ FINANCIAL			0.172	NASDAQ BANK				0.321
NASDAQ COMPUTERS			0.111	NASDAQ INDUSTRIAL				0.652
NASDAQ TRANSPORT			0.207	NASDAQ TELECOMMUNICATIONS				0.697
NASDAQ COMPOSITE			0.159	NASDAQ COMPOSITE				0.564
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.098	financ	comput	transp	0.143	bank	industry	Telecom
finance	0.008	-0.016	0.003	bank	0.039	-0.003	-0.003
comput	-0.016	0.163	-0.017	industry	-0.003	0.107	0.152
transp	0.003	-0.017	0.007	telecom	-0.003	0.152	0.306

3 вариант				4 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ BANK			0.213	NASDAQ BANK			0.144
NASDAQ INDUSTRIAL			0.397	NASDAQ INDUSTRIAL			0.051
NASDAQ TELECOMMUNICATIONS			0.498	NASDAQ TELECOMMUNICATIONS			0.573
NASDAQ COMPOSITE			0.354	NASDAQ COMPOSITE			0.266
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.108	bank	industry	telecom	0.098	bank	industry	Telecom
bank	0.0351	-0.0001	0.0098	bank	0.013	-0.017	-0.03
industry	-0.0001	0.0659	0.1142	industry	-0.017	0.047	0.09
telecom	0.0098	0.1142	0.2684	telecom	-0.03	0.09	0.237

5 вариант				6 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ FINANCIAL			0.424	NASDAQ FINANCIAL			0.333
NASDAQ COMPUTERS			0.159	NASDAQ COMPUTERS			0.565
NASDAQ TRANSPORT			0.256	NASDAQ TRANSPORT			0.378
NASDAQ COMPOSITE			0.174	NASDAQ COMPOSITE			0.564
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.143	financ	comput	transp	0.143	financ	comput	transp
finance	0.034	-0.003	0.027	finance	0.034	-0.003	0.027
comput	-0.003	0.243	-0.018	comput	-0.003	0.243	-0.018
transp	0.027	-0.018	0.035	transp	0.027	-0.018	0.035

7 вариант				8 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ FINANCIAL			0.514	NASDAQ FINANCIAL			0.138
NASDAQ COMPUTERS			0.334	NASDAQ COMPUTERS			0.036
NASDAQ TRANSPORT			0.185	NASDAQ TRANSPORT			0.201
NASDAQ COMPOSITE			0.267	NASDAQ COMPOSITE			0.088
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.108	financ	comput	transp	0.108	financ	comput	transp
finance	0.008	-0.016	0.003	finance	0.008	-0.016	0.003
comput	-0.016	0.163	-0.017	comput	-0.016	0.163	-0.017
transp	0.003	-0.017	0.007	transp	0.003	-0.017	0.007

9вариант				10 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ FINANCIAL			0.163	NASDAQ FINANCIAL			0.163
NASDAQ COMPUTERS			0.438	NASDAQ COMPUTERS			0.438
NASDAQ TRANSPORT			0.039	NASDAQ TRANSPORT			0.039
NASDAQ COMPOSITE			0.266	NASDAQ COMPOSITE			0.266
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.098	financ	comput	transp	0.098	financ	comput	transp
finance	0.008	-0.016	0.003	finance	0.008	-0.016	0.163
comput	-0.016	0.163	-0.017	comput	-0.016	0.163	-0.017
transp	0.003	-0.017	0.007	transp	0.003	-0.017	0.007
13 вариант				14 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ INSURANCE			0.269	NASDAQ INSURANCE			0.189
NASDAQ BIOTECH			0.054	NASDAQ BIOTECH			0.039
NASDAQ TRANSPORT			0.185	NASDAQ TRANSPORT			0.201
NASDAQ COMPOSITE			0.267	NASDAQ COMPOSITE			0.088
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.108	insura	biotech	transp	0.108	insura	biotech	transp
insuran	0.0104	0.0009	0.0061	insuran	0.0104	0.0009	0.0061
biotech	0.0009	0.1626	0	biotech	0.0009	0.1626	0
transp	0.0061	0	0.0146	transp	0.0061	0	0.0146

15 вариант				16 вариант
Индекс			Доход-ность	Индекс			Доход-ность
NASDAQ INSURANCE			0.308	NASDAQ INSURANCE			0.047
NASDAQ BIOTECH			0.594	NASDAQ BIOTECH			0.184
NASDAQ TRANSPORT			0.378	NASDAQ TRANSPORT			0.213
NASDAQ COMPOSITE			0.564	NASDAQ COMPOSITE			0.172
дисп	Матрица ковариации			дисп	Матрица ковариации
0.143	insura	biotech	transp	0.098	insura	biotech	transp
insuran	0.013	-0.005	0.019	insuran	0.0102	-0.0146	-0.0002
biotech	-0.005	0.23	-0.015	biotech	-0.0146	0.1884	-0.0149
transp	0.019	-0.015	0.035	transp	-0.0002	-0.0149	0.0071