14.1.3. Постановка задачи выпуклого программирования

Будем считать задачей выпуклогo программирования следующую задачу:

найти глобальный минимум выпуклой и дифференцируемой функции на множестве

,

где , дифференцируемы и выпуклы на всем пространстве , , - линейные функции, множество удовлетворяет условию Слейтера.

14.2. Применение теории выпуклого программирования для решения задачи формирования портфеля ценных бумаг

Портфель – это совокупность различных инвестиционных инструментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвестиционной цели. Мы ограничимся рассмотрением рискованных ценных бумаг, каждая из которых характеризуется ожидаемой доходностью и средним квадратическим отклонением доходности, которую принято считать количественной характеристикой риска. Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходом для инвестора, т.е. соответствующий набор ценных бумаг призван снизить до минимума риск потерь инвестора и одновременно максимизировать его доход. Уменьшение риска и увеличение доходности достигается за счет диверсификации портфеля, так как невысокие доходы по одной ценной бумаге могут компенсироваться высокой доходностью других ценных бумаг, высокий риск по высокодоходным ценным бумагам можно компенсировать за счет небольшого риска низко доходных ценных бумаг и за счет включения в портфель ценных бумаг с нулевой или отрицательной корреляциями доходностей.

Основы теории выбора портфеля впервые были разработаны Гарри Марковицем в статье «Выбор портфеля». Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Тобина, Шарпа, Блека, Литнера.

14.2.1. Основные характеристики портфеля ценных бумаг

Пусть даны n ценных бумаг, ожидаемые доходности которых известны:

. Введем вектор

Также дана ковариационная матрица доходностей этих ценных бумаг

.

Здесь - дисперсия доходности i-той ценной бумаги, - ковариация ( - корреляция между доходностями i-той и j-той ценных бумаг).

Портфель будем определять долями (денежными) ценных бумаг, входящих в портфель: . То есть, если стоимость всего портфеля равна , то стоимость набора ценных бумаг вида i равна . При этом будем считать, что ценные бумаги можно покупать на рынке в любых количествах (дробных) на любую сумму. Доли ценных бумаг, входящих в портфель должны удовлетворять условиям

Такой портфель называется стандартным. Это означает, что инвестор покупает активы с целью дальнейшей продажи. При этом говорят, что он стоит в длинной позиции. Если разрешены так называемые короткие продажи, то условие неотрицательности отменяется. Короткая продажа означает, что инвестор берет данный актив взаймы у другого инвестора (брокера), сразу же продает его, а потом покупает на рынке по сниженной цене и возвращает своему кредитору (если ожидания инвестора о понижении цены оправдались).

Нетрудно показать, что ожидаемая доходность портфеля будет вычисляться по формуле

,

где - скалярное произведение векторов, , «Т» - знак транспонирования.