Работа №14. Квадратичные модели в экономике.

В экономике часто возникают оптимизационные задачи с ограничениями на переменные. В общем случае это задачи математического программирования. Частным случаем задач математического программирования являются хорошо известные задачи линейного программирования. Характерной особенностью этих задач является выпуклость множества допустимых значений переменных и линейность целевой функции. Большинство нелинейных экономических моделей сохраняют свойство выпуклости. Поэтому цель данной работы – познакомить студентов с простейшими нелинейными моделями в экономике – квадратичными, которые сводятся к задачам выпуклого программирования.

14.1. Основные элементы теории выпуклого программирования

14.1.1. Выпуклые множества и выпуклые функции

Множество V в пространстве называется выпуклым, если вместе с любыми другими двумя точками M и N оно содержит отрезок, их соединяющий. Отрезком в пространстве , соединяющим точки M , N, называется множество всех точек таких, что , где .

Функция называется выпуклой на выпуклом множестве , если для любых точек таких, что , где , выполнено неравенство

Функция называется вогнутой на выпуклом множестве , если функция является выпуклой на выпуклом множестве .

_{Теорема 14.1. Критерий выпуклости дифференцируемой функции.}

Пусть функция дифференцируема на выпуклом множестве . Функция выпукла на множестве V тогда и только тогда, когда для любых точек выполнено неравенство

Замечание. Линейная функция является и выпуклой и вогнутой на всем пространстве .

_{Теорема 14.2. Критерий выпуклости квадратичной функции.}

Квадратичная функция является выпуклой (вогнутой) на всем пространстве тогда и только тогда, когда она неотрицательна (неположительна) на этом пространстве.

Основные свойства выпуклых функций.

1. Если функции , выпуклы на выпуклом множестве , то любая их линейная комбинация , с неотрицательными коэффициентами выпукла на этом множестве.

2. Если функции , выпуклы на всем пространстве , а , - некоторые числа, то множество

выпукло.

Замечание. Множество всех решений системы линейных уравнений и линейных неравенств всегда выпукло.

14.1.2. Экстремумы выпуклых функций

Теорема 14.3. Пусть функция дифференцируема и выпукла на выпуклом множестве . Если стационарная точка функции ( ) принадлежит множеству , то эта точка является точкой глобального минимума функции на множестве .

Рассмотрим множество . Обозначим через множество всех i, для которых является линейной функцией ( ). Говорят, что множество удовлетворяет условию Слейтера, если существует точка P такая, что для всех выполняются неравенства .

Теорема 14.4. Критерий глобального экстремума выпуклой функции.

Пусть функции , дифференцируемы и выпуклы на всем пространстве , а функция дифференцируема и выпукла на множестве , которое удовлетворяет условию Слейтера. Обозначим через множество всех i, для которых . Тогда точка является точкой глобального минимума функции на множестве тогда и только тогда, когда

Теорема 14.4. Теорема Куна-Таккера.

Пусть функции , дифференцируемы и выпуклы на всем пространстве , а функция дифференцируема и выпукла на множестве , которое удовлетворяет условию Слейтера. Рассмотрим функцию Лагранжа ( ).

Точка является точкой глобального минимума функции на множестве тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа такие, что

1) 2)

3)