13.8. Пример выполнения и оформления задания

Временной ряд дневных котировок индексов за три месяца будет содержать около семидесяти значений. Рассмотрим часть временного ряда, состоящую из 60 наблюдений. Оставшуюся часть будем использовать для сравнения построенной модели с реальными данными.

1. Выявление наличия (отсутствия) неслучайной составляющей.

Проверим критерий серий, основанных на медиане. Определим выборочную медиану. Например, пользуясь пакетом Анализ Данных (Описательная статистика) в Excel или статистической функцией МЕДИАНА.

Далее образуем серии из плюсов и минусов. Сначала из всех данных вычтем значение медианы. Если полученное значение больше нуля, ему в соответствие ставим плюс (можно единицу), а если полученная разность меньше нуля, то ставим минус (можно минус единицу). Затем считаем длину каждой серии.

Затем любым способом считаем количество серий и длину самой большой серии:

Подсчитаем значения в правой части неравенств (13.3)

(N=60),

.

Таким образом, оба неравенства нарушаются. Следовательно, принимается гипотеза о наличии зависящей от времени неслучайной составляющей.

Теперь рассмотрим критерий восходящих и нисходящих линий. Получим сначала последовательность разностей , затем последовательность плюсов и минусов согласно изложенному выше правилу. В нашем случае

Найдем значения правых частей неравенств (13.4):

=6

Таким образом, первое неравенство не выполняется, и данный критерий также подтверждает гипотезу о наличии неслучайной составляющей временного ряда.

Ниже представлена таблица вычисления указанных выше значений в Excel.

Таблица 13.3.

Вычисление длин серий для проверки гипотезы

об отсутствии неслучайной составляющей.

Критерий серий, основанный на медиане				Критерий восходящих и нисходящих серий
		серии	длина			серии	длина
1069.77	-52.755	-1		1069.77	-3.52	-1
1066.25	-56.275	-1		1066.25	-0.93	-1	-2
1065.32	-57.205	-1		1065.32	4.88	1	1
1070.2	-52.325	-1		1070.2	-8.37	-1
1061.83	-60.695	-1		1061.83	-0.33	-1	-2
1061.5	-61.025	-1		1061.5	7.4	1	1
1068.9	-53.625	-1		1068.9	-9.01	-1
1059.89	-62.635	-1		1059.89	-1.44	-1	-2
1058.45	-64.075	-1		1058.45	12.73	1
1071.18	-51.345	-1		1071.18	2.91	1
1074.09	-48.435	-1		1074.09	0.05	1	3
1074.14	-48.385	-1		1074.14	-5.63	-1	-1
1068.51	-54.015	-1		1068.51	6.39	1
1074.9	-47.625	-1		1074.9	1.21	1
1076.11	-46.415	-1		1076.11	12.66	1	3
1088.77	-33.755	-1		1088.77	-0.78	-1	-1
1087.99	-34.535	-1		1087.99	4.3	1
1092.29	-30.235	-1		1092.29	3.36	1	2
1095.65	-26.875	-1		1095.65	-1.61	-1	-1
1094.04	-28.485	-1		1094.04	1.85	1
1095.89	-26.635	-1		1095.89	12.95	1
1108.84	-13.685	-1		1108.84	0.12	1
1108.96	-13.565	-1		1108.96	1.35	1
1110.31	-12.215	-1		1110.31	1.6	1	1
1111.91	-10.615	-1		1111.91	-4.38	-1	-1
1107.53	-14.995	-1		1107.53	0.95	1
1108.48	-14.045	-1		1108.48	12.77	1
1121.25	-1.275	-1	-28	1121.25	2.22	1
1123.47	0.945	1		1123.47	2.19	1
1125.66	3.135	1		1125.66	4.99	1	5
1130.65	8.125	1		1130.65	-7.45	-1
1123.2	0.675	1	4	1123.2	-1.35	-1	-2
1121.85	-0.675	-1	-1	1121.85	5.27	1	1
1127.12	4.595	1	1	1127.12	-5.85	-1	-1
1121.27	-1.255	-1	-1	1121.27	8.81	1
1130.08	7.555	1		1130.08	0.99	1
1131.07	8.545	1		1131.07	4.66	1
1135.73	13.205	1		1135.73	2.55	1
1138.28	15.755	1		1138.28	8.08	1
1146.36	23.835	1		1146.36	1.26	1	6
1147.62	25.095	1		1147.62	-6.54	-1	-1
1141.08	18.555	1		1141.08	0.47	1
1141.55	19.025	1		1141.55	13.8	1	2
1155.35	32.825	1		1155.35	-10.31	-1
1145.04	22.515	1		1145.04	-17.89	-1	-2
1127.15	4.625	1		1127.15	6.34	1	1
1133.49	10.965	1		1133.49	-1.55	-1
1131.94	9.415	1		1131.94	-0.81	-1	2
1131.13	8.605	1		1131.13	2.87	1
1134	11.475	1		1134	0.86	1	1
1134.86	12.335	1		1134.86	-7.03	-1	-1
1127.83	5.305	1		1127.83	1.37	1
1129.2	6.675	1		1129.2	12.61	1
1141.81	19.285	1		1141.81	0.95	1
1142.76	20.235	1		1142.76	9.12	1	2
1151.88	29.355	1		1151.88	-5.27	-1
1146.61	24.085	1		1146.61	-0.8	-1	-2
1145.81	23.285	1		1145.81	10.87	1	1
1156.68	34.155	1		1156.68	-4.68	-1	-1
1152	29.475	1	25	1152

2. Построение линии тренда. Линия тренда строится методом регрессионного анализа, построение линии тренда является довольно простой процедурой в Excel. Воспользуемся Пакетом анализа, выбрав в его меню пункт Регрессия. Получаем следующие результаты

	Регрессионная статистика
	Множественный R				0.938689471
	R-квадрат				0.881137922
	Нормированный R-квадрат				0.879088576
	Стандартная ошибка				10.57352335
	Наблюдения				60
	Дисперсионный анализ
		df	SS				MS		F		Значимость F
	Регрессия	1	48069.32532				48069.32532		429.96051		1.66386E-28
	Остаток	58	6484.364969				111.799396
	Итого	59	54553.69029
				Коэффициенты		Стандартная ошибка				t-статистика		P-Значение
Y-пересечение				1062.242164		2.764558476				384.2357371		1.763E-100
№				1.634399		0.078821338				20.73548914		1.6639E-28

3. Прогноз на основе линейной регрессии. Для построения графика следует в Excel сформировать следующую таблицу данных:

Таблица 13.4.

Сводная таблица результатов регрессионного анализа.

№	Yэксп	Yрегр	Yрегр -Дов.инт	Yрегр +Дов.инт	№	Yэксп	Yрегр	Yрегр -Дов.инт	Yрегр +Дов.инт
1	1069.77	1063.88	1042.71	1085.04	35	1121.27	1119.45	1098.28	1140.61
2	1066.25	1065.51	1044.35	1086.68	36	1130.08	1121.08	1099.92	1142.25
3	1065.32	1067.15	1045.98	1088.31	37	1131.07	1122.71	1101.55	1143.88
4	1070.2	1068.78	1047.61	1089.94	38	1135.73	1124.35	1103.18	1145.51
5	1061.83	1070.41	1049.25	1091.58	39	1138.28	1125.98	1104.82	1147.15
6	1061.5	1072.05	1050.88	1093.21	40	1146.36	1127.62	1106.45	1148.78
7	1068.9	1073.68	1052.52	1094.85	41	1147.62	1129.25	1108.09	1150.42
8	1059.89	1075.32	1054.15	1096.48	42	1141.08	1130.89	1109.72	1152.05
9	1058.45	1076.95	1055.79	1098.12	43	1141.55	1132.52	1111.36	1153.69
10	1071.18	1078.59	1057.42	1099.75	44	1155.35	1134.16	1112.99	1155.32
11	1074.09	1080.22	1059.06	1101.39	45	1145.04	1135.79	1114.62	1156.96
12	1074.14	1081.85	1060.69	1103.02	46	1127.15	1137.42	1116.26	1158.59
13	1068.51	1083.49	1062.32	1104.65	47	1133.49	1139.06	1117.89	1160.22
14	1074.9	1085.12	1063.96	1106.29	48	1131.94	1140.69	1119.53	1161.86
15	1076.11	1086.76	1065.59	1107.92	49	1131.13	1142.33	1121.16	1163.49
16	1088.77	1088.39	1067.23	1109.56	50	1134	1143.96	1122.80	1165.13
17	1087.99	1090.03	1068.86	1111.19	51	1134.86	1145.60	1124.43	1166.76
18	1092.29	1091.66	1070.50	1112.83	52	1127.83	1147.23	1126.07	1168.40
19	1095.65	1093.30	1072.13	1114.46	53	1129.2	1148.87	1127.70	1170.03
20	1094.04	1094.93	1073.76	1116.10	54	1141.81	1150.50	1129.33	1171.66
21	1095.89	1096.56	1075.40	1117.73	55	1142.76	1152.13	1130.97	1173.30
22	1108.84	1098.20	1077.03	1119.36	56	1151.88	1153.77	1132.60	1174.93
23	1108.96	1099.83	1078.67	1121.00	57	1146.61	1155.40	1134.24	1176.57
24	1110.31	1101.47	1080.30	1122.63	58	1145.81	1157.04	1135.87	1178.20
25	1111.91	1103.10	1081.94	1124.27	59	1156.68	1158.67	1137.51	1179.84
26	1107.53	1104.74	1083.57	1125.90	60	1152	1160.31	1139.14	1181.47
27	1108.48	1106.37	1085.21	1127.54	61	1148.89	1161.94	1140.78	1183.11
28	1121.25	1108.01	1086.84	1129.17	62	1144.03	1163.57	1142.41	1184.74
29	1123.47	1109.64	1088.47	1130.80	63	1144.11	1165.21	1144.04	1186.37
30	1125.66	1111.27	1090.11	1132.44	64	1139.26	1166.84	1145.68	1188.01
31	1130.65	1112.91	1091.74	1134.07	65	1144.58	1168.48	1147.31	1189.64
32	1123.2	1114.54	1093.38	1135.71	66	1145.82	1170.11	1148.95	1191.28
33	1121.85	1116.18	1095.01	1137.34	67	1146	1171.75	1150.58	1192.91
34	1127.12	1117.81	1096.65	1138.98	68	1144.94	1173.38	1152.22	1194.55

Затем с помощью Мастера Диаграмм получаем следующий график.

Рис. 13.1. Сравнение регрессионной модели с реальными данными.

Из графика видно, что полученная модель регрессии не подходит для явного прогноза цены. Но с помощью этой модели можно все же сделать некоторые выводы о поведении графика цен. После 45 шага цена опустилась ниже линии регрессии и достаточно долго там оставалась. Следовательно, можно сделать вывод, что тренд может перемениться в другую сторону, что и видно на графике.

4. Анализ остатков. Основное значение имеет анализ остатков для выяснения возможности прогнозирования временных рядов с помощью построенной регрессионной модели.

Для анализа остатков следует найти автокорреляционную функцию, построить ее график (коррелограмму), проверить остатки на нормальность, проверить отсутствие автокорреляции возмущений с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Рис. 13.2. Коррелограмма остатков – значения автокорреляционной функции в зависимости от сдвига.

Таблица 13.5.

Значения автокорреляционной функции для остатков.

остатки	сдвиг	корреляция	остатки	сдвиг	корреляция
5.8934	0	1.0000	2.1091	26	-0.6345
0.7390	1	0.8111	13.2447	27	-0.6284
-1.8254	2	0.6858	13.8303	28	-0.6244
1.4202	3	0.6596	14.3859	29	-0.6507
-8.5842	4	0.5507	17.7415	30	-0.6682
-10.5486	5	0.4684	8.6571	31	-0.6520
-4.7830	6	0.4175	5.6727	32	-0.5681
-15.4274	7	0.2857	9.3083	33	-0.4269
-18.5018	8	0.1494	1.8239	34	-0.3526
-7.4062	9	0.0631	8.9995	35	-0.3425
-6.1306	10	-0.0119	8.3551	36	-0.2105
-7.7150	11	-0.0650	11.3807	37	0.1242
-14.9794	12	-0.1153	12.2963	38	0.2490
-10.2237	13	-0.2377	18.7419	39	0.3814
-10.6481	14	-0.3054	18.3675	40	0.6105
0.3775	15	-0.3768	10.1931	41	0.4976
-2.0369	16	-0.4523	9.0287	42	0.4466
0.6287	17	-0.5054	21.1943	43	0.6601
2.3543	18	-0.5023	9.2499	44	0.6378
-0.8901	19	-0.5302	-10.2745	45	0.1288
-0.6745	20	-0.5466	-5.5689	46	-0.0324
10.6411	21	-0.5898	-8.7533	47	-0.1495
9.1267	22	-0.6207	-11.1977	48	-0.3868
8.8423	23	-0.6885	-9.9621	49	-0.2883
8.8079	24	-0.7043	-10.7365	50	-0.5573
2.7935	25	-0.6477	-19.4009	51	-0.7067

Проверив остатки на нормальность с помощью критериев Пирсона и Колмогорова, получаем, что они имеют нормальное распределение с нулевым средним значением. То есть остатки удовлетворяют требованиям регрессионного анализа.

Проверим независимость возмущений с помощью критерия Дарбина-Уотсона. Подсчитаем статистику критерия

.

Таким образом, критерий дает заключение о наличии положительной автокорреляции возмущений. Тогда следует попробовать подобрать другую модель регрессии, например, полиномиальную или экспоненциальную. Отметим, что и в этих случаях критерий Дарбина-Уотсона также дает положительную автокорреляцию возмущений.

5. Построение скользящих средних. Скользящие средние строятся в Excel c помощью АНАЛИЗ ДАННЫХ – СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ. Приведем полученные результаты в виде графика.

Рис. 13.3. Линейное сглаживание по 5, 10, 20 точкам.

Рис. 13.4. Экспоненциальное сглаживание.

Из первого рисунка замечаем, что все скользящие средние находятся ниже графика цен. Такая картина всегда наблюдается при росте цен. Дальше график цены и скользящие средние начинают сближаться и пересекаться. Отсюда можно сделать вывод о возможном развороте графика. Экспоненциальное сглаживание лучше отслеживает график цен, но с помощью его в данном случае нельзя сделать прогноз о тенденции временного ряда.