13.4. Стационарные временные ряды. Автокорреляционная функция и коррелограмма.

Для описания случайной компоненты временного ряда обычно используют стационарные временные ряды.

Ряд называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей m наблюдений , ,…, такое же, как и для m наблюдений , ,…, при любых m, , ,…, и .

Другими словами, свойства стационарного временного ряда не зависят от момента t. Закон распределения вероятностей случайной величины и ее основные числовые характеристики не зависят от момента t (в том числе математическое ожидание и дисперсия ). Совместные распределения для пар случайных величин , , совпадают при любых , и T и зависят только от разности . Следовательно, коэффициент корреляции, определяющий степень тесноты связи между элементами временного ряда и , будет зависеть только от «сдвига по времени» :

.

Так как коэффициент корреляции измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, то его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения его в зависимости от сдвига по времени принято говорить об автокорреляционной функции . График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой, а – лагом.

Можно показать, что оценки основных характеристик временного ряда можно получить по его единственной реализации , ,… , . Таким образом, оценки математического ожидания, дисперсии и коэффициента автокорреляции можно получить по формулам для выборочных характеристик:

, ,

,

или .

Замечание. Для стационарного временного ряда с увеличением лага взаимосвязь между его элементами ослабевает, а следовательно автокорреляционная функция должна убывать (по абсолютной величине). В то же время для выборочной автокорреляционной функции это свойство может нарушаться.

В Excel следует воспользоваться статистическими функциями КОРРЕЛ или КОВАР и ДИСПР, или меню АНАЛИЗ ДАННЫХ – КОРРЕЛЯЦИЯ. Для этого из элементов временного ряда следует получить две новые выборки длиной , отличающиеся друг от друга сдвигом по времени : , …, и , …, . Применив указанные выше функции, получим значение коэффициента автокорреляции для значения лага . Задавая различные значения , можно построить график автокорреляционной функции (коррелограмму) с помощью Мастера диаграмм.

13.5 Временные ряды и прогнозирование. Автокорреляция возмущений. Авторегрессионные модели.

Для прогнозирования временного ряда можно использовать регрессионную модель, но для временных рядов не всегда выполняются требования к случайным остаткам: независимость и равенство нулю математического ожидания. Поэтому очень важно после выделения неслучайной составляющей проверить независимость остатков.

Автокорреляция возмущений. Если последовательные значения возмущений коррелируют между собой, то принято говорить об автокорреляции возмущений.

Для проверки наличия (отсутствия) автокорреляции возмущений можно использовать критерий Дарбина-Уотсона. Статистика критерия имеет вид

,

где - остатки, - выбранная функция тренда.

Для d-статистики найдены верхняя и нижняя критические границы на уровнях значимости

Если фактическое значение d:

а) , то гипотеза об отсутствии корреляции принимается;

б) или , то данный критерий не дает ответа (область неопределенности критерия);

в) , то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;

г) , то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

В табл. 13.2 приведены значения и для различного числа наблюдений N на уровне значимости

Таблица 13.2.

Критические значения для критерия Дарбина-Уотсона

N	15	20	25	30	35	40	45	50
	1,08	1,20	1,29	1,35	1,40	1,44	1,48	1,50
	1,36	1,41	1,45	1,49	1,52	1,54	1,57	1,59

В случае выявления автокорреляции возмущений целесообразно вновь вернуться к выбору регрессионной модели. Следует заметить, что метод наименьших квадратов и в случае автокорреляции остатков дает «хорошие» точечные оценки коэффициентов регрессионной модели, но их интервальными оценками пользоваться нельзя.

Замечание. Выделение неслучайной составляющей с помощью метода скользящего среднего приводит к автокорреляции остатков, но он дает хороший краткосрочный прогноз.

Очень часто для временных рядов нельзя подобрать подходящую функцию тренда, чтобы остатки удовлетворяли основным предпосылкам регрессионного анализа. Тогда прибегают к другим моделям временных рядов.

Авторегрессионные модели. Авторегрессинные модели описывают исследуемый стационарный процесс в текущий момент времени в зависимости от его значений в предыдущие моменты времени. Они используются для описания случайной компоненты временного ряда. Так, авторегрессионная модель p-го порядка имеет вид:

,

где - некоторые константы, стационарный временной ряд с нулевым математическим ожиданием и нулевой корреляцией между любыми двумя элементами временного ряда (так называемый «белый шум»). Простейшим вариантом линейного авторегрессионного процесса является модель первого порядка, которая называется марковским случайным процессом:

.

ARMA – модели (модели авторегресии-скользящего среднего) представляют собой процесс смешанного типа, в представлении которого участвуют как авторегрессионные члены самого процесса, так и скользящее суммирование элементов белого шума:

.

Для описания нестационарных временных рядов используют ARIMA-модели (авторегрессии – проинтегрированного скользязего среднего). Сначала к временному ряду применяют оператор дифференцирования некоторое количество раз, чтобы получившийся в результате ряд стал стационарным, а потом для получившегося ряда строится ARMA-модель.