Работа № 13 анализ временных рядов

Цель работы: ознакомиться с классическими методами анализа временных рядов, получить основу для формирования навыков работы с экономическими временными рядами, сформировать математическую базу для изучения современных методов анализа временных рядов (финансовые инвестиции, технический анализ, биржевые стратегии и т.п.)

13.1. Определения и основные понятия

Большинство статистических данных в экономике представлено в виде значений экономических показателей в различные моменты времени. Так как одной из важнейших целей статистического анализа является прогнозирование поведения исследуемого признака, то имеет смысл при прогнозировании опираться не только на внешние факторы и связи с другими показателями, но и использовать данные об изменении самого исследуемого признака за прошлые промежутки времени. Объяснение поведения какого-либо признака только через изменение значений этого показателя во времени, без учета каких-либо других факторов, является задачей анализа временных рядов.

Ряд наблюдений , , … , анализируемой случайной величины , произведенных в последовательные моменты времени , ,…, называется временным рядом.

Будем рассматривать временные ряды с равноотстоящими моментами наблюдений, т.е. , где  - заданный временной такт (минута, час, сутки, неделя, месяц, квартал, год и т. д.). Такой временной ряд можно представлять в виде реализаций , …, случайных величин , , …, .

Существуют два принципиальных отличия временного ряда от случайной выборки: 1) члены временного ряда не являются статистически независимыми, 2) члены ряда не являются одинаково распределенными.

Обычно значения элементов временного ряда представляют в виде разложения:

, (13.1)

где

– функция тренда (как правило, монотонная), описывающая долговременные, формирующие общую тенденцию, изменения анализируемого признака x(t);

и – сезонная и циклические компоненты, отражающие повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного и длительного периодов времени;

– случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Заметим, что первые три фактора могут как присутствовать, так и не присутствовать в разложении временного ряда, в то время как случайная составляющая предполагается обязательно участвующей в формировании значений элементов временного ряда.

13.2. Выявление наличия (отсутствия) неслучайной составляющей. Речь идет о проверке гипотезы

, (13.2)

(включая утверждение о взаимной независимости членов временного ряда).

Критерий серий, основанный на медиане. Расположим члены анализируемого временного ряда в порядке возрастания, то есть образуем вариационный ряд , ,…, и определим выборочную медиану . После этого образуем «серии» из плюсов и минусов следующим образом: вместо каждого члена временного ряда , будем ставить плюс, если , и минус, если . Образованная последовательность плюсов и минусов характеризуется общим числом серий и протяженностью самой длинной серии . При этом под «серией» понимается последовательность подряд идущих плюсов или подряд идущих минусов. Очевидно, если справедлива гипотеза (13.2), то построенная последовательность не должна содержать слишком длинных серий, и общее число серий не должно быть слишком малым.

Используя в качестве критической статистики двумерную случайную величину , можно построить следующее приближенное правило проверки гипотезы (13.2):

Если хотя бы одно из неравенств

, (13.3)

окажется нарушенным, то гипотеза (13.1) отвергается с вероятностью ошибки, заключенной между 0,05 и 0,0975. Т.е. подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в разложении временного ряда (13.1).

Критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. Здесь также строятся последовательности плюсов и минусов, но по другому правилу: на i–том месте ставится плюс, если , и минус, если . Последовательность подряд идущих плюсов соответствует восходящей серии, а последовательность подряд идущих минусов образует нисходящую серию.

Аналогично предыдущему критерию может быть получено следующее правило проверки гипотезы (13.2):

, (13.4)

,

где величина в зависимости от N определяется из приведенной ниже таблицы.

Таблица 13.1.

Критические значения для проверки гипотезы

об отсутствии неслучайной составляющей.

N