
- •Раздел I. Линейная алгебра
- •1.2 Определители
- •1.3 Формулы крамера
- •1.4. Примеры применения в экономических исследованиях
- •1.5. Назначение и классификация моделей межотраслевого баланса
- •1.6. Варианты заданий
- •1. Системы линейных уравнений
- •2. Экономические задачи
- •3. Балансовые модели
- •1.7. Примеры выполнения и оформления заданий
- •Решение систем линейных уравнений
- •Пример применения в экономических исследованиях
- •3. Балансовые модели
- •Литература
1.5. Назначение и классификация моделей межотраслевого баланса
Предполагается, что производственный сектор экономики может быть представлен в виде ряда производственных отраслей в некотором количестве, например, N отраслей, и что каждая отрасль производит один продукт. Отрасли соединены множеством всевозможных взаимных связей. Можно утверждать, что для производства своей продукции каждая отрасль использует продукцию других отраслей. Таким образом, каждая отрасль производит продукцию для производственного потребления (будем называть эту продукцию промежуточной) и для потребления и накопления вне отрасли (будем называть эту продукцию конечной или заказанной). Валовым выпуском продукции данной отрасли будем называть сумму потребления продукции различными отраслями плюс конечная продукция. Обозначим через хj величину валовой продукции j-ой отрасли, а через уj величину конечной продукции j-ой отрасли (j=1,2,…, n). Через хij обозначим величину продукции j-ой отрасли, которая затрачивается на производство продукции в i-ой отрасли. Учитывая это, составим балансовую систему уравнений
(1.5.1)
Предположим, что в условиях стабильной экономики вектор конечной продукции уТ = (у1,у2, …уn) один и тот же, и предприятия отраслей сохранили свои технологии, тогда коэффициент аij=xij/xj , будет тоже величиной, сохраняющей свое значение. Эти коэффициенты называются технологическими или коэффициентами прямых затрат. В экономическом смысле величина аij равна количеству продукции (в стоимостном выражении) отрасли i , необходимому для производства одной единицы (хj=1) продукции j-ой отрасли (в стоимостном отношении), если баланс составляется тоже в стоимостных единицах. Квадратная матрица А=(аij) i=1,2,…, n, j=1,2,…, n называется технологической матрицей. Вопрос оценки ее коэффициентов на практике – один из важных вопросов составления балансов. Для получения их значений используются методы эконометрики. Если известны коэффициенты матрицы А, тогда систему балансовых уравнений можно переписать в виде
(1.5.2)
Это и есть знаменитое уравнение статической балансовой модели «затраты- выпуск» , полученной В.В.Леонтьевым. Если ее записать в матрично-векторном виде, то она примет вид
(1.5.3)
Преобразуя формулу (1.5.3), получим
(1.5.4)
где А - технологическая матрица, Е – единичная матрица порядка n, а хт=(х1,х2,…,хn)т и ут=(у1,у2,…,уn)т - транспонированные векторы валового и конечного продуктов соответственно.
Если обозначить обратную матрицу (Е–А)-1=В, то получим решение уравнения (1.5.4), а именно
хт=Вут
или в скалярном виде
(i=1,2,…,n). (1.5.5)
Данное уравнение позволяет по заданному (заказанному) конечному выпуску продукции вычислить валовый выпуск. В математической экономике переменные уj называются экзогенными (внешние переменные, заданные извне), а переменные хi - эндогенными (вычисленными внутри модели).
Рассмотрим экономический смысл элементов матрицы В. Если в системе уравнений (1.5.5) вектор конечного продукта представить в виде ут=(0,0,…1…0), где ук=1, то решая эту систему, получим хj=bjk. Следовательно, величина bjk – это количество валовой продукции (в стоимостном выражении) отрасли j, необходимое для выпуска одной единицы (ук=1) конечной продукции отрасли k. И так как конечный спрос ук=1 продукции отрасли k (при нулевых значениях спроса продукции других отраслей) обеспечивается валовыми выпусками х1=b1k, x2=b2k,…, xn=bnk всех отраслей, то коэффициенты bij матрицы В называются коэффициентами полных затрат, а сама матрица В - матрицей полных затрат или мультипликатором Леонтьева.
Замечание: Все рассуждения в работе проводились для балансов, составленных в стоимостном выражении, однако такие же балансы можно составлять и в натуральном выражении [1, стр.709].
Зная значения хj (j=1,2,…,n), можно рассчитать матрицу межотраслевых поставок хij=aijxj (i=1,2,…,n; j=1,2,…,n). В этом и состоит расчет баланса с использованием статической модели межотраслевого баланса (СММБ).