1.2 Определители

Всякой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем (детерминантом) и обозначаемое

.

Существует правило вычисления этого числа. Так, например, для матрицы второго порядка ее определитель можно подсчитать по формуле

Пример. Дана матрица Найти ее определитель.

Для получения правила вычисления определителя m-го порядка путем разложения по элементам строки или столбца рассмотрим понятие алгебраического дополнения к элементу а_ij определителя, которое обозначим через А_ij.

Пусть дан определитель m-го порядка

Найдем алгебраическое дополнение к элементу а_i2. Для этого из данного определителя вычеркнем i-ую строку и 2-ой столбец; получится определитель порядка m-1, который называется минором к элементу а_i2. Если теперь этот минор умножить на (-1)ⁱ⁺², где i-номер строки, 2 - номер столбца, то получится алгебраическое дополнение к элементу а_i2.

Правило вычисления определителя путем разложения по элементам строки или столбца записывается в виде

где а_ij - элементы i-ой cтроки, а А_ij - алгебраические дополнения к этим элементам.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка

Вычислим его разложением по элементам первой строки. Рассмотрим элемент а₁₁=1. Вычислим алгебраическое дополнение к нему. Вычеркнем первую строку и первый столбец и умножим полученный определитель второго порядка на (-1)¹⁺¹; получим

Аналогично вычислим алгебраическое дополнение к элементам а₁₂=2 и а₁₃=-1; получим

Тогда искомый определитель

1.3 Формулы крамера

Используются для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных, т.е. совместных и определенных систем.

Пусть дана система уравнений

Определитель называется определителем системы.

Определитель получается из определителя системы путем замены в нем i-го столбца на столбец свободных членов. Тогда значение х_i переменной подсчитывают по формуле Крамера

Пример. Решить систему линейных уравнений

используя формулы Крамера.

Вначале вычислим определитель системы

следовательно, система имеет решение.

Затем подсчитаем определители х₁, х₂, х₃, получим:

Корни уравнения вычисляем из соотношений:

1.4. Примеры применения в экономических исследованиях

Пример. Предприятие выпускает три вида продукции А,В и С (i=1,2,3), используя для этого четыре различных технологии (j=1,2,3,4 ). Каждая технология характеризуется интенсивностью а_ij, показывающей количество i –ых изделий, выпускаемых по j-ой технологии. Требуется определить какое время необходимо работать по каждой технологии, чтобы обеспечить заданный план выпуска продукции. Необходимые данные приведены в табл.1.1.

Таблица 1.1

Виды	Время выпуска изделий по технологиям (штук/час)				Заданный
изделий	Т1	Т2	Т3	Т4	план выпуска
А	3	2	1	6	24
В	1	3	2	5	20
С	2	2	4	7	28

Решение. Обозначим время работы по каждой технологии через Х_j , тогда для определения этого времени получим систему уравнений:

Решая эту систему методом Жордана – Гаусса [1], получим разрешенную систему

Анализ решения показывает, что если четвертую технологию не использовать совсем, то для выполнения задания необходимо работать, соответственно, по первой, второй и третьей технологиям 5, 3 и 3 часа. Однако можно заметить также, что если поработать только по четвертой технологии 4 часа, то задание тоже будет выполнено.