
- •Раздел I. Линейная алгебра
- •1.2 Определители
- •1.3 Формулы крамера
- •1.4. Примеры применения в экономических исследованиях
- •1.5. Назначение и классификация моделей межотраслевого баланса
- •1.6. Варианты заданий
- •1. Системы линейных уравнений
- •2. Экономические задачи
- •3. Балансовые модели
- •1.7. Примеры выполнения и оформления заданий
- •Решение систем линейных уравнений
- •Пример применения в экономических исследованиях
- •3. Балансовые модели
- •Литература
Раздел I. Линейная алгебра
РАБОТА №1
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
БАЛАНСОВЫЕ ЗАДАЧИ
Цель работы: овладеть методами решения систем линейных уравнений с использованием табличного процессора Excel.
Приобрести навыки в расчете межотраслевых балансов с использованием табличного процессора Microsoft Excel.
1.1 МАТРИЦЫ
Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
Матрицы обычно обозначают большими буквами, например:
или А = (аij), i=1,2, …, m; j=1,2,…, n; B = (bij), i=1,2,…, k; j=1,2, …, p.
Cтолбцы матрицы Аmn можно рассматривать как m-мерные векторы-столбцы А1, А2, …, Аn; строки можно рассматривать как n-мерные векторы-строки А1, А2, …, Аm.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.
Квадратная матрица, у которой все
элементы, находящиеся над главной
диагональю или под главной диагональю,
равны нулю, называется треугольной.
Например,
Квадратная матрица, у которой все
элементы кроме диагональных равны нулю,
называется диагональной. Например,
.
Произведением матрицы А на число k называется матрица kА, у которой каждый элемент равен соответствующему элементу матрицы А, умноженному на число k.
Пример:
Операция сложения матриц А и В определена только для матриц одного порядка, т.е. для матриц, у которых одинаковое число строк и столбцов.
Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, у которой каждый элемент равен сумме соответствующих элементов матриц - слагаемых, т.е. сij=aij+bij.
Пример:
.
Операция умножения матрицы А на матрицу В осуществима только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; в результате умножения получится матрица С=АВ, у которой число строк равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В:
А В АВ
число строк m n m
число столбцов n k k
Произведением матрицы А=(аij), i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, на матрицу В=(b), =1,2,…,n, =1,2,…,k, называется матрица С=АВ=(сi), каждый элемент которой равен скалярному произведению вектора-строки А(i) на вектор-столбец В.
Пример:
,
.
Из этого примера видно, в частности, что если даже возможно будет переставить сомножители (это когда число строк и столбцов у матриц-сомножителей совпадают), то результат перемножения матриц в общем случае не совпадет, т.е. АВ ВА.
Замечание. Иногда можно встретить матрицы, для которых эта операция выполняется, т.е. АВ=ВА; в этом случае матрицы называются перестановочными.
Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали состоят из одних единиц, называется единичной и обозначается через Е.
Квадратная матрица А-1
называется обратной
к
матрице А, если выполняется условие
А-1А
= АА-1
= Е.
Пример:
Следовательно, В=А-1 является обратной к А или А=В-1 является обратной к В.
Обратную матрицу можно вычислить по следующему алгоритму:
1. Записать заданную матрицу и справа от нее приписать единичную матрицу Е.
С помощью преобразований Жордана [1] привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных векторов-столбцов, при этом одновременно преобразовывая соответствующие строки матрицы Е.
3. Переставить одновременно строки матрицы А и соответствующие строки матрицы Е так, чтобы на месте преобразованной матрицы А образовалась единичная матрица.
Записать матрицу А-1, обратную к матрице А, которая находится в последней таблице на месте преобразованной матрицы.
Пример. Найти матрицу А-1,
обратную к матрице А, если
.
Решение. Запишем в одну таблицу матрицы А и Е, получим:
-
А
Е
А1
А2
А3
Е1
Е2
Е3
1
2
4
1
0
0
2
5
3
0
1
0
3
7
8
0
0
1
1
2
4
1
0
0
0
1
-5
-2
1
0
0
1
-4
-3
0
1
1
0
12
7
0
-2
0
0
-1
1
1
-1
0
1
-4
-3
0
1
1
0
0
19
12
14
0
0
1
-1
-1
1
0
1
0
-7
-4
5
1
0
0
19
12
-14
0
1
0
-7
-4
5
0
0
1
-1
-1
1
Проверим правильность вычислений:
Следовательно, матрица
является обратной к заданной матрице
А.