Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Работа 1 (ред.).doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
06.02.2020
Размер:
503.81 Кб
Скачать

Раздел I. Линейная алгебра

РАБОТА №1

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

БАЛАНСОВЫЕ ЗАДАЧИ

Цель работы: овладеть методами решения систем линейных уравнений с использованием табличного процессора Excel.

Приобрести навыки в расчете межотраслевых балансов с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

1.1 МАТРИЦЫ

Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обычно обозначают большими буквами, например:

или А = (аij), i=1,2, …, m; j=1,2,…, n; B = (bij), i=1,2,…, k; j=1,2, …, p.

Cтолбцы матрицы Аmn можно рассматривать как m-мерные векторы-столбцы А1, А2, …, Аn; строки можно рассматривать как n-мерные векторы-строки А1, А2, …, Аm.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся над главной диагональю или под главной диагональю, равны нулю, называется треугольной. Например,

Квадратная матрица, у которой все элементы кроме диагональных равны нулю, называется диагональной. Например, .

Произведением матрицы А на число k называется матрица kА, у которой каждый элемент равен соответствующему элементу матрицы А, умноженному на число k.

Пример:

Операция сложения матриц А и В определена только для матриц одного порядка, т.е. для матриц, у которых одинаковое число строк и столбцов.

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, у которой каждый элемент равен сумме соответствующих элементов матриц - слагаемых, т.е. сij=aij+bij.

Пример: .

Операция умножения матрицы А на матрицу В осуществима только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; в результате умножения получится матрица С=АВ, у которой число строк равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В:

А В АВ

число строк m n m

число столбцов n k k

Произведением матрицы А=(аij), i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, на матрицу В=(b), =1,2,…,n, =1,2,…,k, называется матрица С=АВ=(сi), каждый элемент которой равен скалярному произведению вектора-строки А(i) на вектор-столбец В.

Пример: , .

Из этого примера видно, в частности, что если даже возможно будет переставить сомножители (это когда число строк и столбцов у матриц-сомножителей совпадают), то результат перемножения матриц в общем случае не совпадет, т.е. АВВА.

Замечание. Иногда можно встретить матрицы, для которых эта операция выполняется, т.е. АВ=ВА; в этом случае матрицы называются перестановочными.

Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали состоят из одних единиц, называется единичной и обозначается через Е.

Квадратная матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А-1А = АА-1 = Е.

Пример:

Следовательно, В=А-1 является обратной к А или А=В-1 является обратной к В.

Обратную матрицу можно вычислить по следующему алгоритму:

1. Записать заданную матрицу и справа от нее приписать единичную матрицу Е.

  1. С помощью преобразований Жордана [1] привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных векторов-столбцов, при этом одновременно преобразовывая соответствующие строки матрицы Е.

3. Переставить одновременно строки матрицы А и соответствующие строки матрицы Е так, чтобы на месте преобразованной матрицы А образовалась единичная матрица.

  1. Записать матрицу А-1, обратную к матрице А, которая находится в последней таблице на месте преобразованной матрицы.

Пример. Найти матрицу А-1, обратную к матрице А, если .

Решение. Запишем в одну таблицу матрицы А и Е, получим:

А

Е

А1

А2

А3

Е1

Е2

Е3

1

2

4

1

0

0

2

5

3

0

1

0

3

7

8

0

0

1

1

2

4

1

0

0

0

1

-5

-2

1

0

0

1

-4

-3

0

1

1

0

12

7

0

-2

0

0

-1

1

1

-1

0

1

-4

-3

0

1

1

0

0

19

12

14

0

0

1

-1

-1

1

0

1

0

-7

-4

5

1

0

0

19

12

-14

0

1

0

-7

-4

5

0

0

1

-1

-1

1

Проверим правильность вычислений:

Следовательно, матрица является обратной к заданной матрице А.