Раздел I. Линейная алгебра

РАБОТА №1

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

БАЛАНСОВЫЕ ЗАДАЧИ

Цель работы: овладеть методами решения систем линейных уравнений с использованием табличного процессора Excel.

Приобрести навыки в расчете межотраслевых балансов с использованием табличного процессора Microsoft Excel.

1.1 МАТРИЦЫ

Матрицей размера mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы обычно обозначают большими буквами, например:

или А = (а_ij), i=1,2, …, m; j=1,2,…, n; B = (b_ij), i=1,2,…, k; j=1,2, …, p.

Cтолбцы матрицы А_mn можно рассматривать как m-мерные векторы-столбцы А₁, А₂, …, А_n; строки можно рассматривать как n-мерные векторы-строки А¹, А², …, А^m.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся над главной диагональю или под главной диагональю, равны нулю, называется треугольной. Например,

Квадратная матрица, у которой все элементы кроме диагональных равны нулю, называется диагональной. Например, .

Произведением матрицы А на число k называется матрица kА, у которой каждый элемент равен соответствующему элементу матрицы А, умноженному на число k.

Пример:

Операция сложения матриц А и В определена только для матриц одного порядка, т.е. для матриц, у которых одинаковое число строк и столбцов.

Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В, у которой каждый элемент равен сумме соответствующих элементов матриц - слагаемых, т.е. с_ij=a_ij+b_ij.

Пример: .

Операция умножения матрицы А на матрицу В осуществима только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; в результате умножения получится матрица С=АВ, у которой число строк равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В:

А В АВ

число строк m n m

число столбцов n k k

Произведением матрицы А=(а_ij), i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, на матрицу В=(b_), =1,2,…,n, =1,2,…,k, называется матрица С=АВ=(с_i), каждый элемент которой равен скалярному произведению вектора-строки А⁽ⁱ⁾ на вектор-столбец В_.

Пример: , .

Из этого примера видно, в частности, что если даже возможно будет переставить сомножители (это когда число строк и столбцов у матриц-сомножителей совпадают), то результат перемножения матриц в общем случае не совпадет, т.е. АВ  ВА.

Замечание. Иногда можно встретить матрицы, для которых эта операция выполняется, т.е. АВ=ВА; в этом случае матрицы называются перестановочными.

Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали состоят из одних единиц, называется единичной и обозначается через Е.

Квадратная матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие А^-1А = АА^-1 = Е.

Пример:

Следовательно, В=А^-1 является обратной к А или А=В^-1 является обратной к В.

Обратную матрицу можно вычислить по следующему алгоритму:

1. Записать заданную матрицу и справа от нее приписать единичную матрицу Е.

2. С помощью преобразований Жордана [1] привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных векторов-столбцов, при этом одновременно преобразовывая соответствующие строки матрицы Е.

3. Переставить одновременно строки матрицы А и соответствующие строки матрицы Е так, чтобы на месте преобразованной матрицы А образовалась единичная матрица.

4. Записать матрицу А^-1, обратную к матрице А, которая находится в последней таблице на месте преобразованной матрицы.

Пример. Найти матрицу А^-1, обратную к матрице А, если .

Решение. Запишем в одну таблицу матрицы А и Е, получим:

	А			Е
А1	А2	А3	Е1	Е2	Е3
1	2	4	1	0	0
2	5	3	0	1	0
3	7	8	0	0	1
1	2	4	1	0	0
0	1	-5	-2	1	0
0	1	-4	-3	0	1
1	0	12	7	0	-2
0	0	-1	1	1	-1
0	1	-4	-3	0	1
1	0	0	19	12	14
0	0	1	-1	-1	1
0	1	0	-7	-4	5
1	0	0	19	12	-14
0	1	0	-7	-4	5
0	0	1	-1	-1	1

Проверим правильность вычислений:

Следовательно, матрица является обратной к заданной матрице А.