Зміст лекції

1. Тіла та поверхні обертання

Уявимо, що плоский многокутник АВСВ обертається навколо пря­мої АВ (рис. 1, а). При цьому кожна його точка, що не належить пря­мій АВ, описує коло з центром на цій прямій. Весь многокутник АВСВ, обертаючись навколо прямої АВ, описує деяке тіло обертання (рис. 1, б). Поверхня цього тіла називається поверхнею обертання. Пряму АВ нази­вають віссю обертання цього тіла.

Рис. 1

Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання, пере­тинає це тіло. Утворений переріз називають осьовим перерізом тіла обертання.

У житті ми дуже часто зустрічаємося з тілами обертання. Це — зви­чайна пляшка, пробірка, колба, хокейна шайба, патрон, котушка тощо. Більшість деталей, виготовлених на токарному верстаті, має форму тіл обертання.

2. Циліндр

Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається тіло, що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (мал. 1). Круги на­зиваються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів,— твірними циліндра.

Оскільки паралельне перенесення є рух, то основи циліндра рівні.

Мал. 1 Мал. 2

Через те що при паралельному перенесенні площина пере­ходить у паралельну площину (або в себе), то основи циліндра лежать у паралельних площинах.

Оскільки при паралельному перенесенні точки

зміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються, на одну й ту саму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні.

Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня — з твірних.

Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендику­лярні до площин основ.

Далі розглядатимемо тільки прямий циліндр, називаючи його коротко просто циліндром. Прямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокут­ника навколо сторони як осі (мал. 2).

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вона паралельна твірним.

3 . Перерізи циліндра площинами

Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є прямо­кутник (мал. 3).

Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — паралельні хорди основ. Зокрема, прямокутником є осьовий переріз. Це переріз циліндра площиною, яка проходить

через його вісь (мал. 4).

Мал. 3 Мал. 4 Мал.5

Теорема : Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, яке дорівнює колу основи.

Доведення. Нехай — площина, паралельна площині основи циліндра (мал. 5). Паралельне перенесення вздовж напряму осі циліндра, яке суміщає площину з площиною основи циліндра, суміщає переріз бічної поверхні площиною з колом основи. Теорему доведено.

4. Вписана і описана призма

Призмою, вписаною у циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами — твірні циліндра (мал. 6).

Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до

площи­ни осьового перерізу, що містить

Мал.6 Мал. 7 Мал.8 цю твірну (мал. 7).