Решение типовых задач
Пример
1. Вычислите
.
Решение. преобразуем данное числовое выражение, используя свойства корня n-й степени, получим
.
Ответ. –26,5.
Пример 2. Укажите значение выражения
,
если с
> 0, d
> 0;
.
Решение. Преобразуем выражение по действиям:
1.
.
2.
.
3.
.
Ответ. 2.
Пример
3. Найдите
значение выражения
при всех допустимых значениях переменных.
Решение. Проведем преобразование по действиям
1.
.
2.
.
3.
.
Ответ: 2.
Пример 4.
Упростите
выражение
.
Решение.
Преобразуем
.
Ответ: 2.
Задания для решения
6.1.
Вычислите
.
6.2.
Вычислите
.
6.3.
Найдите
значение выражения
при х=1,44.
6.4.
Найдите
значение выражения
при t=9.
6.5.
Упростите выражение
.
6.6.
Упростите
выражение
.
6.7.
Упростите
выражение
.
6.8.
Упростите
выражение
.
6.9.
Упростите
выражение
.
6.10.
Упростите
выражение
.
Домашнее задание
6.11.
Вычислите
.
6.12.
Найдите значение выражения
при y=100.
6.13.
Упростите выражение
.
6.14.
Упростите выражение
.
6.15.
Упростите выражение
.
Ответы
6.1.
–2. 6.2.
.
6.3.
11. 6.4.
0,2. 6.5.
1. 6.6.
.
6.7.
.
6.8. 0.
6.9.
.
6.10.
.
6.11.
5. 6.12.
-12.
6.13.
.
6.14.
.
6.15.
.
7. Преобразование логарифмических выражений
Краткие теоретические сведения
Определение.
Логарифмом числа
по основанию
называется показатель степени, в которую
нужно возвести основание
чтобы получить число
.
Формулу
(где
,
и
)
называют основным логарифмическим
тождеством.
Свойства:
1.
;
2.
,
где
,
,
,
.
3.
;
4.
,
где
,
,
,
,
.
Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию:
5.
,
где
,
,
,
,
.
Частный случай формулы перехода:
6.
,
,
,
,
.
Решение типовых задач
Пример
1. Вычислите
.
Решение.
Используя свойства степени и основное
логарифмическое тождество, имеем:
.
Ответ.
.
Пример
2. Зная, что
;
,
найти
.
Решение. Используя свойства логарифма, имеем:
Ответ. 10.
Пример
3. Вычислите
.
Решение. Используя свойства логарифма и основное логарифмическое тождество, имеем:
Ответ. -16.
Пример
4. Вычислите:
.
Решение. Используя свойства логарифма и основное логарифмическое тождество, имеем:
Ответ. 10.
Пример
5. Вычислите
.
Решение. Используя свойства логарифма и основное логарифмическое тождество, имеем:
.
Ответ. 1.
Задания для решения
Вычислите:
7.1.
.
7.2
.
7.3.
.
7.4.
.
7.5.
Зная, что
;
.
Найти
.
7.6.
Зная, что
,
,
найдите
.
Вычислите:
7.7.
.
7.8.
.
7.9.
.
7.10.
.
7.11.
.
7.12.
.
Домашнее задание
7.13.
Найдите
,
если известно, что
.
Упростите выражения:
7.14.
.
7.15.
.
7.16.
. 7.17.
.
7.18.
.
Ответы
7.1.
.
7.2.
3. 7.3.
.
7.4.
5. 7.5.
0,5. 7.6.
8. 7.7.
.
7.8.
28.
7.9.
6. 7.10.
-4. 7.11.
.
7.12.
14. 7.13.
7.14.
27. 7.15.
-8. 7.16.2.
7.17.
0. 7.18.
7.
8. Показательные уравнения и неравенства
Краткие теоретические сведения
При решении показательных уравнений используются два основных метода:
1)
переход от уравнения
к уравнению
;
2) введение новых переменных. Иногда приходится применять искусственные приемы.
Рассмотрим
уравнения вида
,
где
и
,
и уравнения, сводящиеся к ним. Решения
таких уравнений основано на следующей
теореме:
Теорема
1. Если
и
,
то уравнение
равносильно уравнению
.
Решение
показательных неравенств вида
где
основано на двух теоремах:
Теорема
2. Если
то неравенство
равносильно неравенству
Теорема
3. Если
то неравенство
равносильно неравенству
