Решение типовых задач
Пример
1. Даны
координаты вершин треугольника АВС:
,
,
.
Найти: 1)
длину стороны ВС;
2) уравнение стороны ВС;
3) уравнение высоты, проведенной из
вершины А;
4) длину высоты, проведенной из вершины
А;
5) уравнение биссектрисы внутреннего
угла
;
6) угол
в радианах с точностью до 0.01.
Решение.
1).
Воспользовавшись формулой:
,
получим
.
Ответ:
.
2)
Воспользовавшись уравнением прямой,
проходящей через две точки:
получим уравнение стороны ВС:
,
,
,
,
Ответ:
3)
Высота АН
перпендикулярна стороне ВС,
поэтому их угловые коэффициенты
и
удовлетворяют условию:
.
Из уравнения прямой ВС
следует, что
,
тогда
.
Уравнение
прямой, проходящей через точку
с угловым коэффициентом k
имеет вид:
.
Напишем уравнение прямой, проходящей
через данную точку
с угловым коэффициентом
:
,
,
,
,
.
Ответ:
.
4)
Длину высоты АН
вычисляем
как расстояние от точки А
до прямой ВС
по формуле:
;
где
.
;
.
Ответ:
.
5)
Пусть D
– точка пересечения биссектрисы со
стороной АС.
Из свойства биссектрисы внутреннего
угла треугольника следует, что
.
Но
,
.
Следовательно,
Так как известно, в котором точка D
делит отрезок АС,
то координаты точки D
определяются по формулам:
.
,
т.е.
.
Задача сводится к составлению прямой, проходящей через точки В и D.
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
6)
Найдем координаты векторов
и
:
,
.
Скалярное
произведение векторов
.
Тогда
.
Ответ:
.
Задания для решения
14.1.
Стороны АВ,
ВС и
АС треугольника
АВС
даны соответственно уравнениями
Определить координаты его вершин.
14.2.
Даны вершины
треугольника
и
Составить уравнения его высот.
14.3.
Даны уравнения
двух сторон прямоугольника
и одна из его вершин
Составить уравнения двух других сторон
этого прямоугольника.
14.4.
Даны вершины
треугольника
и
Составить уравнение перпендикуляра,
опущенного из вершины А
на медиану
проведенную из вершины В.
14.5.
Написать
уравнения сторон и найти углы треугольника
с вершинами
и
14.6.
Определить
угол
между двумя прямыми:
1)
2)
3)
4)
14.7.
Даны две
противоположные вершины квадрата
и
Составить уравнения его сторон.
14.8.
Даны две
вершины треугольника
его высоты пересекаются в точке
Определить координаты третьей вершины
14.9.
Составить
уравнение прямой, которая проходит
через точку
и отсекает от координатного угла
треугольник с площадью, равной 12 кв.ед.
14.10.
Точка
является вершиной квадрата, одна из
сторон которого лежит на прямой
Вычислить площадь этого квадрата.
14.11. Вычислить расстояние d между параллельными прямыми:
1) 3x–4y–10=0, 6x–8y+5=0; 2) 5x–12y+25=0, 5x–12y–13=0;
3) 4x–3y+15=0, 8x–6y+25=0; 4) 24x–10y+39=0, 12x–5y–26=0.
14.12.
Даны уравнения
двух сторон квадрата
и одна из его вершин
Составить уравнения двух других сторон
этого квадрата.
14.13.
Из точки
выходит луч света под углом
к оси Ox
и отражается
от оси Ox,
а затем от оси Oy.
Написать уравнения всех трех лучей.
14.14. Даны одна из вершин треугольника (1;3) и уравнения двух медиан x–2y+1=0 и y–1=0. Составить уравнения его сторон.