Решение типовых задач

Пример 1. Найти производную третьего порядка функции .

Решение. Сначала найдем и , обязательно упрощая полученные выражения

;

;

.

Ответ. .

Пример 2. Найти производную -го порядка функции .

Решение. Преобразуем исходную функцию следующим образом .

Вычислим производные функции.

;

;

;

…

.

Ответ. .

Пример 3. Разложить в степенной ряд функцию по степеням .

Решение. Для разложения функции воспользуемся формулой Тейлора (1). Вычислим сначала все производные функции и значения этих производных в точке .

;

; ;

; ;

; ;

;

.

Подставляя получившиеся значения в формулу Тейлора, получим разложение исходной функции в степенной ряд:

.

Ответ. .

Задания для решения

Разложить в степенной ряд функции:

23.1. по степеням .

23.2. по степеням .

23.3. Найти первые 3 члена разложения функции в ряд по степеням .

23.4. Две материальные точки движутся по законам (м) и (м). Найдите ускорение первого тела в момент времени, когда скорости этих тел равны.

Записать формулу для производной п-го порядка функций:

23.5. . 23.6. .

23.7. . 23.8. .

23.9. . 23.10. ;.

23.11. . 23.12. .

Домашнее задание

23.13. Разложить в степенной ряд функцию по степеням .

Записать формулу для производной п-го порядка функций:

23.14. . 23.15. .

23.16. . 23.17. .

23.18. . 23.19. .

Ответы

23.1. .

23.2. .

23.3. . 23.4. 38. 23.5. .

23.6. . 23.7. . 23.8. .

23.9. . 23.10. .

23.11. . 23.12. .

23.13. . 23.14. . 23.15. . 23.16. . 23.17. . 23.18. . 23.19. .

24. Применение производных к исследованию функций

Краткие теоретические сведения

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в промежутке из области определения, если для любых из условия следует неравенство (соответственно ).

Под монотонностью понимается либо возрастание, либо убывание.

Теорема (достаточное условие монотонности). Если функция дифференцируема в промежутке и ( ) для всех , то возрастает (соответственно убывает) в промежутке .

Определение. Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если она определена в некоторой окрестности этой точки и для каждой точки этой окрестности (соответственно ). Значение функции называется минимумом (соответственно максимумом).

Под экстремумом функции (локальным) понимается либо минимум функции, либо её максимум.

Определение. Точка из области определения функции , называется стационарной точкой, если дифференцируема в и .

Определение. Точка из области определения функции , называется критической точкой, если не дифференцируема в .

Необходимое условие экстремума. Если  точка экстремума функции , то она является стационарной ил критической точкой этой функции.

Не всякая критическая или стационарная точка является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. непрерывна в точке и дифференцируема в . Пусть  стационарная или критическая точка функции . Если в некоторой окрестности точки слева от производная принимает один знак, а справа от  противоположный, то  точка экстремума. При этом если слева , справа , то  точка максимума, в противном случае  точка минимума. Если в некоторой проколотой окрестности точки производная имеет постоянный знак, то не является точкой экстремума. Если к тому же непрерывна в , то функция монотонна в этой окрестности.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть и существует . Тогда если , то  точка минимума. Если же , то  точка максимума.

Вторым достаточным условием экстремума удобно пользоваться, если достаточно сложно установить знак первой производной в окрестности точки экстремума.

Пусть функция имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала . Обозначим дугу графика функции , соответствующую интервалу .

Определение. Если дуга лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции , проведенной в любой точке , то функция называется выпуклой (соответственно вогнутой) в интервале .

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 24.1 б, в).

Заметим, что в точке перегиба требуется существование касательной к графику.

Теорема (достаточное условие выпуклости вверх и вниз). Если функция дифференцируема дважды в интервале и в нём ( ), то является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале .

Необходимое условие точки перегиба. Если  точка перегиба функции , то либо , либо не существует (рис. 24.1 б, в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция имеет производную (может быть бесконечную) в точке , существует вторая производная в проколотой окрестности точки и либо , либо не существует. Тогда если при переходе через меняет знак, то является точкой перегиба.