Решение типовых задач
Пример
1. Решите
систему уравнений
Решение.
Решим данную систему уравнений методом
подстановки. Из второго уравнения
находим:
.
Подставляя это значение в первое
уравнение, получаем:
или после упрощения
.
Корнями этого уравнения являются числа
,
.
Таким образом, получаем совокупность
двух систем уравнений:
и
.
Первая
система имеет решения
,
а вторая
.
Значит, данная система имеет решения:
.
Ответ. .
Пример
2.
Решите
систему уравнений
Решение.
Метод подстановки в данном случае
приводит к сложным выкладкам. Поэтому
будем рассуждать иначе: прибавим к
первому уравнению системы второе
уравнение, тогда получаем систему:
равносильную заданной.
А теперь воспользуемся методом подстановки:
.
Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:
,
Первая
система имеет решение
,
а вторая
.
Значит, решение данной системы имеет
вид:
.
Ответ. .
Пример
3. Решите
систему
Решение.
Обозначим выражение
переменной
,
тогда получим новую систему уравнений
Решая первое уравнение системы, получаем:
D0;
Перейдем
к переменным
и
,
и решим соответствующие совокупности
систем уравнений.
Если
то
система примет вид:
;
тогда
,
откуда
и
Если
то
система примет вид:
;
тогда
,
откуда
и
Данная система имеет четыре решения:
(1;1), (0,5;2), (2;-1), (-0,5;4).
Ответ. (1;1), (0,5;2), (2;-1), (-0,5;4).
Пример
4. Решите
систему уравнений:
Решение.
Второе уравнение системы представим в
виде:
.
Тогда данная система будет равносильна
совокупности двух систем, решаемых
методом подстановки.
1.
или
,
значит,
и решением первой системы будет
.
2.
или
,
значит
,
и решением второй системы будет
.
Ответ. и .
Задания для решения
Решить системы уравнений.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
Домашнее задание
Решить системы уравнений.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
Ответы
2.1
(2;3), (3;2). 2.2
(2;1), (-1;-2). 2.3
(0,4;0,8). 2.4
(2;3), (3;2).
2.5
(4;1), (1;4). 2.6
(1;2). 2.7
(0,5;4). 2.8
(7;3), (-7;-3). 2.9
(2;-1), (-1;2).
2.10
(2;1), (2;-1),
(1;
),
(1;
).
2.11
(1;2), (2;1). 2.12
,
.
2.13
(-3;1), (1;-3). 2.14
(-2;-1), (1;2). 2.15
(1;2). 2.16
(-2;-1), (-2;1), (2;-1), (2;1). 2.17
(4;2). 2.18 (-3;-2),
(3;1).
3. Уравнения и неравенства с модулем
Краткие теоретические сведения
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:
1) раскрытие модуля по определению;
2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;
3) метод разбиения на промежутки.
При решении неравенства, содержащих переменную под знаком модуля, иногда бывает полезна теорема 1 о равносильности неравенств.
Теорема
1. Пусть дано
неравенство
причем
и
при всех
из
области определения неравенства. Если
обе части возвести в одну и туже
натуральную степень
и
при этом знак неравенства оставить без
изменения, то получится неравенство
равносильное данному.
Пусть,
например, нужно решить неравенство
Воспользуемся тем, что если
- некоторая функция, то
и
Это
значит. что по теореме 1 неравенство
равносильно неравенству
Кроме того, иногда полезно воспользоваться
геометрической интерпретацией модуля
действительного числа. Дело в том, что
геометрически
означает расстояние от точки
числовой
координат, а
расстояние между точками
и
