1. Решение рациональных уравнений. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим уравнения вида где и - многочлены, а так же уравнения вида где и - рациональные выражения.

Напомним некоторые сведения из алгебры.

1. Если корень многочлена , то делится без остатка на двучлен

2. Пусть все коэффициенты многочлена - целые числа, причем старший коэффициент равен Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то это число целое.

3. Пусть коэффициенты многочлена - целые числа. если корнем многочлена является целое число то – делитель свободного члена (необходимое условие существования целочисленного корня).

Отметим, что при решении целых рациональных уравнений преобразования, выполняемые в процессе решения, приводят только к уравнениям, равносильным заданному. Поэтому, естественно, найденные корни не проверяют и упоминать об этом не следует. При решении же дробно-рациональных уравнений выполняется умножение обеих частей на одно и тоже выражение что может привести к появлению посторонних корней. Поэтому при решении дробно-рациональных уравнений проверка необходима.

При решении рациональных (и других) уравнений основными являются следующие методы:

1) разложение на множители;

2) введение новых переменных.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

то всякое уравнение

(1)

является решением совокупности уравнений

(2)

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности (2) является решением уравнения (1).

Решение типовых задач

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем и далее

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

Из первого уравнения получаем Второе уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Попытки выполнить в левой части уравнения группировку аналогичную тому, как это было сделано в примере 1, оказываются неудачными. Поэтому попытаемся какой-нибудь член уравнения представить в виде суммы нескольких слагаемых таким образом, чтобы группировка, позволяющая получить «удачное» разложение на множители, была осуществима. Положим Тогда получим и далее

Остается решить совокупность уравнений

Ни одно из них действительных корней не имеет. Значит, заданное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Можно попытаться решить это уравнение, как в предыдущих примерах 1 и 2, разложением на множители (представив в виде суммы , получить уравнение а затем и т.д.). Мы покажем на этом примере так называемый метод подбора, с помощью которого отыскивается целый корень уравнения. Используя необходимое условие существования целочисленного корня, выпишем делители свободного члена:

Теперь начинаем пробы. Подставим вместо в данное уравнение Получаем

Таким образом не является корнем уравнения. Продолжаем пробы: Итак - корень уравнения.

Воспользуемся тем, что многочлен делится без остатка на Выполним это деление:

			0

Таким образом, а, значит, исходное уравнение принимает вид:

Это уравнение равносильно совокупности уравнений (решение первого из которых уже найдено) Второе уравнение совокупности не имеет корней.

Заданное уравнение имеет один действительный корень

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Положим Тогда заданное уравнение примет вид:

Решим это уравнение как квадратное относительно

Итак, Таким образом, задача сводится к решению следующей совокупности уравнений:

Из этой совокупности находим:

Пример 5. Решим уравнение

Решение. Заданное уравнение имеет интересную особенность: отношение первого коэффициента к свободному члену и квадрат отношения второго коэффициента к предпоследнему равны между собой. Уравнения с такой особенностью называются возвратными. На этом примере мы покажем способ решения возвратного уравнения четвертой степени.

Разделив обе части уравнения на (это не приведет к потере корня, так как значение не является корнем заданного уравнения). Получим:

и далее

Положим тогда а потому Заменив в последнем уравнении на а на получим: откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

Эти уравнения не имеют действительных корней, значит, и заданное уравнение не имеет корней.

Задания для решения

Решить уравнения.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

Домашнее задание

Решить уравнения.

1.10. 1.11.

1.12. 1.13.

1.14. 1.15.

1.16.

Ответы

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16.

2. Решение систем рациональных уравнений

Краткие теоретические сведения

Пусть дано два уравнения с двумя неизвестными и , и ставится задача найти все пары чисел , таких, что при подстановке их в эти уравнения получаются верные числовые равенства. При данных условиях говорят, что задана система уравнений и записывают её в виде

Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел , таких, что при подстановке числа вместо х и числа вместо y получаются верные числовые равенства. Это множество будем называть решением системы уравнений.

Две системы уравнений называются равносильными, если их решения совпадают.

При решении систем уравнений их заменяют более простыми, равносильными им системами. При замене одного уравнения системы равносильным ему уравнением, система переходит в равносильную ей систему уравнений (в частности, можно переносить члены уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака, и умножать обе части уравнения на одно и тоже отличное от нуля число).

Рассмотрим основные методы решения систем уравнений.

1. Метод подстановки. Этот метод основан на том, что данную систему

(1)

сводят к равносильной системе вида:

(2)

Чтобы свести данную систему к виду (2), надо решить какое-либо уравнение системы (1) относительно одного из переменных, т.е. выразить его через другую переменную.

2. Метод алгебраического сложения уравнений. Это второй очень эффективный метод решения систем уравнений. Сущность его в том, что к обеим частям одного из уравнений системы прибавляют соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то же число, а другое уравнение оставляют без изменения. В результате, как правило, получается система, к которой применим метод подстановки.

3. Метод замены переменных. Сущность его в том, некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, в результате чего получается более простая система уравнений, относительно новых переменных. После того как эта система буде решена, необходимо найти значения исходных переменных.

4. Метод разложения на множители основан на следующей теореме:

Если функции определены на некотором множестве А, то на этом множестве система уравнений равносильна совокупности систем уравнений:

…