69

ТР: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Вариант № 31

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

а)

б)

в)

2. Даны матрицы:

Найти: а) А  С, С  А, С  В, А^Т  В;

б) (А), (С), ( С  А ), ( А  С );

в) матричным методом решение уравнения А  Х = В;

г) матричным методом решения систем а) и б) из задания 1.

3. Даны вершины пирамиды:

А(-4, 3, -5);

В(0, 2, 3);

С(1, 4, 7);

Д(3, 5, 9)

Найти: а) длины ребер АВ, АС, СД;

б) углы АДС, САВ, ДСВ;

в) площади граней АВС и СДВ;

г) объем пирамиды и длину высоты, опущенной из точки А.

4. Дан треугольник на плоскости с вершинами в точках А(-5, 2), В(-1, 4), С(3, 3).

Найти: а) уравнения всех его сторон;

б) уравнения всех высот и всех медиан;

в) точку пересечения высот и точку пересечения медиан;

г) длину одной из высот треугольника.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

а) А(-3, 5, 7), В(1, 2, 1);

б) А( 3, 3, 5), В(4, 3, 7);

в) А(0, -1, 2), В( 5, 10, 5).

6. Через точку А(2, 2, 1) провести прямую:

а) параллельную прямой ;

б) перпендикулярную векторам:

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(-3, 4, -7), В(1, 5, -4), С(-5, -2, 0);

б) точку А(2, -1, 3) и прямую ;

в) две пересекающиеся прямые и ;

г) две параллельные прямые и .

8. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) ;

б) .

9. Найти точку Q, симметричную точке Р(2, 0, -1) относительно плоскости

5х - 4у + z - 1 = 0.

10. Найти точку Q, симметричную точке Р(3, 2, 6) относительно прямой

.

11. Построить плоскости:

6х + 4у -3 z -12 = 0, 3x + y - 6 = 0, 2x + 7 = 0, x + 2y + 4 = 0.

Вариант № 32

1. Используя метод Крамера, решить системы уравнений:

а)

б)

в)

2. Даны матрицы:

Найти: а) А  С, С  А, С  В, А^Т  В;

б) (А), (С), ( С  А ), ( А  С );

в) матричным методом решение уравнения А  Х = В;

г) матричным методом решения систем а) и б) из задания 1.

3. Даны вершины пирамиды:

А(4, 0, 1);

В(0, 2, 1);

С(3, 1, 2);

Д(0, 2, -3)

Найти: а) длины ребер АВ, АС, СД;

б) углы АДС, САВ, ДСВ;

в) площади граней АВС и СДВ;

г) объем пирамиды и длину высоты, опущенной из точки А.

4. Дан треугольник на плоскости с вершинами в точках А(-2, 5), В(3, 1), С(0, 7).

Найти: а) уравнения всех его сторон;

б) уравнения всех высот и всех медиан;

в) точку пересечения высот и точку пересечения медиан;

г) длину одной из высот треугольника.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

а) А(2, -4, -3), В(5, -6, 0);

б) А( -1, 3, 3), В(2, -10, 8);

в) А(1, -1, 1), В( -2, 0, 3).

6. Через точку А(3, 0, 1) провести прямую:

а) параллельную прямой ;

б) перпендикулярную векторам:

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через:

а) точки А(1, 3, 0), В(-1, 1, 1), С(0, 6, 7);

б) точку А(5, 0, 1) и прямую ;

в) две пересекающиеся прямые и ;

г) две параллельные прямые и .

8. Найти точку пересечения прямой и плоскости:

а) ;

б) .

9. Найти точку Q, симметричную точке Р(4, 5, 1) относительно плоскости

2х - 3у + z - 1 = 0.

10. Найти точку Q, симметричную точке Р(1, 0, 2) относительно прямой

.

11. Построить плоскости:

х + 2у + 2z - 4 = 0, x + 4z - 8 = 0, x + 3 = 0, 3x - 5y = 0.