2.5. Оценка значимости параметров и качества модели

Пусть эмпирическое уравнение регрессии имеет вид . Перепишем это уравнение в виде . – отклонение результата i-го наблюдения от среднего значения независимой переменной y;

– отклонение линии регрессии в наблюдаемой i-й точке от среднего значения ;

– отклонение результата i-го наблюдения от модельного значения, определяемого по линии регрессии в точке x_i.

Прямая является одной из возможных, для которых выполняется условие . Таким образом, коэффициент детерминации позволяет определить в какой степени прямая найденная по МНК дает лучший результат для объяснения зависимой переменной y чем горизонтальная прямая .

Возведем обе части переписанного уравнения регрессии в квадрат и просуммируем, тогда получим

Можно показать (покажите), что . Тогда при анализе статистической модели общую дисперсию окончательно рассматривают как сумму объясненной и остаточной дисперсий:

Общая сумма квадратов отклонений = сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией + остаточная сумма квадратов отклонений.

Сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы  варьирования признака. Число же степеней свободы связано с объемом выборки n (величиной совокупности).

Общая сумма квадратов интерпретируется как мера общего разброса зависимой переменной y относительно . Для образования общей суммы квадратов отклонений (левая часть дисперсионного равенства) из n возможных отклонений: свободно варьируются только отклонений. Поскольку все значения связаны условием , то одно (любое) из n отклонений является следствием остальных отклонений. Таким образом, для вычисления левой части суммы квадратов необходимо только отклонений (независимых вариаций). Итак, число степеней свободы (в однофакторной модели) общей дисперсии равно . Объясненная сумма квадратов интерпретируется как мера разброса, объясненная с помощью регрессии; она имеет только одну степень свободы. Действительно, поскольку при заданном наборе , рассчитываемое значение , является лишь функцией коэффициента регрессии в силу связи , то . Что касается количества степеней свободы суммы квадратов случайной переменной , то в общем случае, мы о нем ничего сказать не можем.

В случае однофакторной модели линейной регрессии имеет место теорема о равенстве степеней свободы общей суммы квадратов сумме квадратов факторной и остаточной составляющих: . Отсюда, число степеней свободы остаточной суммы квадратов составляет .

Средние квадраты отклонений или дисперсии в однофакторной модели в расчете на одну степень свободы даются формулами:

Здесь и далее через S² обозначается дисперсия в расчете на одну степень свободы, в отличие от средней по совокупности дисперсии ².

Чем меньше остаточная дисперсия, тем меньше влияние неучитываемых в модели факторов и тем лучше модель регрессии подходит к исходным данным. Отношение факторной (объясненной) и остаточной (необъясненной) дисперсий в расчете на одну степень свободы позволяет сделать вывод о значимости (существенности) уравнения регрессии в целом. Так, если

то нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и уравнение регрессии признается значимым.

Для малых выборок средние ошибки случайных отклонений даются формулами:

Надежность оценок коэффициента корреляции и коэффициентов и в модели линейной регрессии зависит от их средних квадратических отклонений (случайных ошибок) и определяется с помощью критерия Стьюдента.

Расчетные значения

сравниваются, с определенным по таблице, при уровне значимости и числе степеней свободы значением . В частности, .

Замечание. При оценке надежности параметров регрессии можно использовать грубое правило: если стандартная ошибка больше модуля, исследуемого параметра, то он не может быть принят как значимый.

В парной линейной регрессии . Действительно, поскольку факторную сумму квадратов можно представить в виде , а остаточную сумму квадратов как – , то . Кроме того . Таким образом, .

Так как , , , то признается значимость коэффициента корреляции и неслучайная природа коэффициентов и .

Для построения доверительных интервалов необходимо вычислить предельные ошибки оцениваемых величин. Поскольку , , имеют одно и то же распределение Стьюдента, то предельные ошибки, очевидно, даются соотношениями

, .

После решения вопроса о значимости коэффициента корреляции , коэффициентов , и уравнения регрессии в целом можно установить доверительные интервалы этих величин в генеральной совокупности. Для каждого показателя имеем:

Доверительные вероятности параметров регрессии можно представить в виде

5 этап. Оценим точность модели вычислением среднего относительного отклонения расчетных данных от фактических. Допустимый предел значений должен быть не более 10%. Вычисляем относительную ошибку аппроксимации

Модель хорошо отражает зависимость между изучаемыми факторами x и y, если ошибка менее 10%. В нашем случае, средняя относительная ошибка аппроксимации, как мера рассеяния эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии меньше 10%, что говорит о высокой точности модели и свидетельствует о достаточном объеме выборки. Для повышения точности модели, количество наблюдений следует увеличить.

6 этап. Полученные оценки параметров , при условии значимости их величин, позволяют использовать уравнение регрессии для прогноза.

Обозначим через значение прогнозируемого показателя для фактора , тогда используя формулу для того же фактора, мы допускаем ошибку Здесь , определяемые по неизвестной нам генеральной совокупности коэффициенты. Поскольку оценки являются реализациями случайных величин-выборок, то наблюдаемая ошибка прогноза так же является реализацией случайной величины. При этом имеются два источника неопределенности ошибки прогноза: 1) отклонения от значений, вычисленных по генеральной совокупности; 2) неопределенность ошибки .

Если выполнены предпосылки МНК (мы это предполагаем), то имеет место соотношение

верное в силу несмещенности оценок параметров регрессии , , . Точность прогноза зависит от дисперсии ошибки прогноза

Здесь учтено, что – неслучайная (хотя и не известная) величина.